Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta:
Sejam A e B matrizes n times n.
a) Se A for invertível e B for singular, então A B é singular.

Passo 1

Vamos analisar a questão: temos duas matrizes quadradas de ordem , chamadas e . A matriz é invertível, ou seja, ela possui uma inversa, enquanto a matriz é singular, o que significa que ela não é invertível. Nosso objetivo é determinar se o produto dessas duas matrizes, , também é singular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser invertível ou singular. Uma matriz é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicada por ela, resulta na matriz identidade. Isso é importante porque uma matriz invertível tem um determinante diferente de zero.
Por outro lado, uma matriz é singular se ela não possui uma matriz inversa. Isso acontece quando o determinante da matriz é igual a zero. O determinante é um valor que nos dá informações sobre a matriz, como se ela pode ser invertida ou não.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o determinante do produto de duas matrizes. Existe uma propriedade matemática que nos diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Em fórmulas, isso fica assim:
det(A B) = det(A) times det(B)

Passo 4

Sabendo que det(A B) = det(A) times det(B) = diferente de zero times 0 = 0 é invertível, o determinante de ( ) é diferente de zero. Já que é singular, o determinante de ( ) é igual a zero.
Aplicando a propriedade que mencionamos:
Portanto, o determinante de é zero, o que significa que é uma matriz singular.

Resposta

Verdadeiro. Se é invertível e é singular, então o produto também é singular porque o determinante de será zero.

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