Sendo $V=R^{3}$ e dado um conjunto de elementos de $V, \beta=\{(1,1,-1) ;(0,1,1) ;(1,0,-2)\}$. Verifique se $v_{4}=(3,4,-2) \in W$. Caso afirmativo escreva $v_{4}$ como uma combinação linear da base de $W$.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial \( V = \mathbb{R}^3 \) e um conjunto de vetores \( \beta = \{(1,1,-1), (0,1,1), (1,0,-2)\} \). A tarefa é verificar se o vetor \( v_4 = (3,4,-2) \) está dentro do subespaço \( W \) gerado por \( \beta \). Se sim, vamos escrever \( v_4 \) como uma combinação linear dos vetores de \( \beta \). Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa \( v_4 \) estar em \( W \). Isso quer dizer que existe uma combinação linear dos vetores de \( \beta \) que resulta em \( v_4 \). Ou seja, queremos encontrar escalares \( a \), \( b \) e \( c \) tais que: \[ a(1,1,-1) + b(0,1,1) + c(1,0,-2) = (3,4,-2) \]

Passo 3

Vamos quebrar essa equação vetorial em componentes para formar um sistema de equações: \[ \begin{cases} a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 1 = 3 \\ a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 0 = 4 \\ a \cdot (-1) + b \cdot 1 + c \cdot (-2) = -2 \end{cases} \] Simplificando, temos: \[ \begin{cases} a + c = 3 \\ a + b = 4 \\ - a + b - 2c = -2 \end{cases} \]

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, podemos isolar \( a \): \[ a = 4 - b \] Substituindo \( a \) na primeira equação: \[ (4 - b) + c = 3 \\ c = 3 - 4 + b \\ c = b - 1 \] Agora, substituímos \( a = 4 - b \) e \( c = b - 1 \) na terceira equação: \[ - (4 - b) + b - 2(b - 1) = -2 \\ -4 + b + b - 2b + 2 = -2 \\ (-4 + 2) + (b + b - 2b) = -2 \\ -2 + 0 = -2 \] A equação se confirma, o que significa que há infinitas soluções, mas podemos escolher um valor para \( b \). Vamos escolher \( b = 1 \): \[ a = 4 - 1 = 3 \\ c = 1 - 1 = 0 \]

Resposta

Sim, \( v_4 \) está em \( W \). Uma combinação linear que representa \( v_4 \) é: \[ v_4 = 3(1,1,-1) + 1(0,1,1) + 0(1,0,-2) \]

Exercícios relacionados

Mostrar que a reta
r:l x=1+3 lambda y=-1-2 lambda z=lambda
é paralela ao plano pi: x+2 y+z+3=0.
Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (quando for possível) da reta que
c) Passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(-3,-2,-1)
Sendo V=R^3 e dado um conjunto de elementos de V, beta=(1,1,-1) ;(0,1,1) ;(1,0,-2).
Verifique se v5=(1,1,1) in W. Caso afirmativo escreva v5 como uma combinação linear da base de W.
Usando as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar, resolva as seguintes equações nas incógnitas x, y e z em função de u, v e w.
b) lx+y+z=u x-z=v 3 x-2 y=w