Sendo $V=R^{3}$ e dado um conjunto de elementos de $V, \beta=\{(1,1,-1) ;(0,1,1) ;(1,0,-2)\}$.
Verifique se $v_{4}=(3,4,-2) \in W$. Caso afirmativo escreva $v_{4}$ como uma combinação linear da base de $W$.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial \( V = \mathbb{R}^3 \) e um conjunto de vetores \( \beta = \{(1,1,-1), (0,1,1), (1,0,-2)\} \). A tarefa é verificar se o vetor \( v_4 = (3,4,-2) \) está dentro do subespaço \( W \) gerado por \( \beta \). Se sim, vamos escrever \( v_4 \) como uma combinação linear dos vetores de \( \beta \). Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa \( v_4 \) estar em \( W \). Isso quer dizer que existe uma combinação linear dos vetores de \( \beta \) que resulta em \( v_4 \). Ou seja, queremos encontrar escalares \( a \), \( b \) e \( c \) tais que:
\[
a(1,1,-1) + b(0,1,1) + c(1,0,-2) = (3,4,-2)
\]
Passo 3
Vamos quebrar essa equação vetorial em componentes para formar um sistema de equações:
\[
\begin{cases}
a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 1 = 3 \\
a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 0 = 4 \\
a \cdot (-1) + b \cdot 1 + c \cdot (-2) = -2
\end{cases}
\]
Simplificando, temos:
\[
\begin{cases}
a + c = 3 \\
a + b = 4 \\
- a + b - 2c = -2
\end{cases}
\]
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, podemos isolar \( a \):
\[
a = 4 - b
\]
Substituindo \( a \) na primeira equação:
\[
(4 - b) + c = 3 \\
c = 3 - 4 + b \\
c = b - 1
\]
Agora, substituímos \( a = 4 - b \) e \( c = b - 1 \) na terceira equação:
\[
- (4 - b) + b - 2(b - 1) = -2 \\
-4 + b + b - 2b + 2 = -2 \\
(-4 + 2) + (b + b - 2b) = -2 \\
-2 + 0 = -2
\]
A equação se confirma, o que significa que há infinitas soluções, mas podemos escolher um valor para \( b \). Vamos escolher \( b = 1 \):
\[
a = 4 - 1 = 3 \\
c = 1 - 1 = 0
\]
Resposta
Sim, \( v_4 \) está em \( W \). Uma combinação linear que representa \( v_4 \) é:
\[
v_4 = 3(1,1,-1) + 1(0,1,1) + 0(1,0,-2)
\]