Determine, se possível, uma reta que passa pelo ponto (1,2,3) e forma um ângulo de 30^circ com o eixo x e 45^circ com o eixo y.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar uma reta que passa pelo ponto (1, 2, 3) e faz um ângulo de 30^circ com o eixo x e 45^circ com o eixo y. Para resolver isso, vamos usar o conceito de cossenos diretores, que relaciona os ângulos que a reta forma com cada um dos eixos coordenados. Precisaremos encontrar a direção da reta usando esses ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os cossenos diretores. Se uma reta tem direção dada por um vetor v = (a, b, c), então os cossenos diretores alpha, beta, e gamma são os ângulos que a reta forma com os eixos x, y e z, respectivamente. Eles satisfazem as seguintes relações:
cos alpha = araiza^2 + b^2 + c^2, cos beta = braiza^2 + b^2 + c^2, cos gamma = craiza^2 + b^2 + c^2

Passo 3

No nosso caso, sabemos que alpha = 30^circ e beta = 45^circ. Vamos usar essas informações para encontrar as componentes do vetor direção v = (a, b, c).
Primeiro, calculamos os cossenos desses ângulos:
cos 30^circ = raiz32, cos 45^circ = raiz22

Passo 4

Vamos relacionar esses cossenos diretores com as componentes do vetor direção:
araiza^2 + b^2 + c^2 = raiz32, braiza^2 + b^2 + c^2 = raiz22
Podemos chamar raiza^2 + b^2 + c^2 = k, onde k é o módulo do vetor direção. Assim, temos:
a = k cdot raiz32, b = k cdot raiz22

Passo 5

Agora, para encontrar c, usamos a relação que a soma dos quadrados dos cossenos diretores é igual a 1:
(raiz32)^2 + (raiz22)^2 + cos^2 gamma = 1
Calculando:
34 + 24 + cos^2 gamma = 1 implies 54 + cos^2 gamma = 1
cos^2 gamma = 1 - 54 = -14

Passo 6

Aqui encontramos um problema: cos^2 gamma não pode ser negativo, já que o quadrado de um número real é sempre não negativo. Isso significa que não existe um valor real para gamma que satisfaça as condições dadas. Portanto, não é possível determinar uma reta que passe pelo ponto (1, 2, 3) e forme um ângulo de 30^circ com o eixo x e 45^circ com o eixo y.

Resposta

Não existe uma reta que passe pelo ponto (1, 2, 3) e forme um ângulo de 30^circ com o eixo x e 45^circ com o eixo y.

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