Determine e esboce o campo do vetor gradiente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar e desenhar o campo do vetor gradiente da função
. Vamos usar cálculo vetorial para achar o gradiente e entender como ele se comporta no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis,
, nos dá um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é encontrado calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Com essas derivadas, podemos formar o vetor gradiente
:
Esse vetor nos mostra a direção e a taxa de variação máxima da função
em cada ponto
.
Passo 5
Agora, para esboçar o campo do vetor gradiente, vamos imaginar vetores em diferentes pontos do plano
:
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
Cada vetor aponta na direção onde
aumenta mais rapidamente. Por exemplo, em
, o vetor
indica que para aumentar
, devemos nos mover na direção positiva de
e negativa de
.
Resposta
O vetor gradiente da função
é dado por:
Esse campo vetorial pode ser esboçado traçando vetores com componentes
em vários pontos do plano
, mostrando a direção e magnitude do aumento máximo de
em cada ponto.