Determine e esboce o campo do vetor gradiente de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar e desenhar o campo do vetor gradiente da função . Vamos usar cálculo vetorial para achar o gradiente e entender como ele se comporta no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, , nos dá um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é encontrado calculando as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Com essas derivadas, podemos formar o vetor gradiente :
Esse vetor nos mostra a direção e a taxa de variação máxima da função em cada ponto .

Passo 5

Agora, para esboçar o campo do vetor gradiente, vamos imaginar vetores em diferentes pontos do plano :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Cada vetor aponta na direção onde aumenta mais rapidamente. Por exemplo, em , o vetor indica que para aumentar , devemos nos mover na direção positiva de e negativa de .

Resposta

O vetor gradiente da função é dado por:
Esse campo vetorial pode ser esboçado traçando vetores com componentes em vários pontos do plano , mostrando a direção e magnitude do aumento máximo de em cada ponto.

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