Determine e esboce a curva representada por
, para
no intervalo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva representada pela função vetorial
, onde
varia no intervalo de
a
. O objetivo é determinar a forma dessa curva e esboçá-la no plano cartesiano. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções paramétricas e manipulação de expressões exponenciais.
Passo 2
Vamos começar identificando as componentes da função vetorial. Temos:
Nosso objetivo é encontrar uma relação direta entre
e
, eliminando o parâmetro
.
Passo 3
Para eliminar
, podemos expressar
em termos de
a partir da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Sabemos que
, então:
Portanto, a relação entre
e
é:
Passo 4
A equação
representa uma hipérbole retangular. Vamos agora analisar como a curva se comporta no intervalo dado para
, ou seja, de
a
.
Passo 5
Vamos calcular os valores de
e
nos extremos e no ponto central do intervalo:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Com esses pontos, podemos traçar a curva da hipérbole
no intervalo de
a
. A curva se aproxima dos eixos, mas nunca os toca, formando duas ramas simétricas em relação à origem.
Resposta
A curva representada por
no intervalo
é uma hipérbole retangular definida por
. O esboço dessa curva no plano cartesiano mostra uma hipérbole com duas ramas, uma no primeiro quadrante indo de aproximadamente
a
, sem tocar os eixos.