Determine e esboce a curva representada por r(t) = (e^t, e^-t), para t no intervalo [-1, 1].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva representada pela função vetorial , onde t varia no intervalo de -1 a 1. O objetivo é determinar a forma dessa curva e esboçá-la no plano cartesiano. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções paramétricas e manipulação de expressões exponenciais.

Passo 2

Vamos começar identificando as componentes da função vetorial. Temos:
Nosso objetivo é encontrar uma relação direta entre x e y, eliminando o parâmetro t.

Passo 3

Para eliminar t, podemos expressar t em termos de x a partir da primeira equação:
Agora, substituímos t na segunda equação:
Sabemos que , então:
Portanto, a relação entre x e y é:

Passo 4

A equação representa uma hipérbole retangular. Vamos agora analisar como a curva se comporta no intervalo dado para t, ou seja, de -1 a 1.

Passo 5

Vamos calcular os valores de x e y nos extremos e no ponto central do intervalo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Com esses pontos, podemos traçar a curva da hipérbole no intervalo de a . A curva se aproxima dos eixos, mas nunca os toca, formando duas ramas simétricas em relação à origem.

Resposta

A curva representada por no intervalo é uma hipérbole retangular definida por . O esboço dessa curva no plano cartesiano mostra uma hipérbole com duas ramas, uma no primeiro quadrante indo de aproximadamente a , sem tocar os eixos.

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