integral sen x cos ^2 x5+cos ^2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que resolver a integral:
Aqui, estamos lidando com uma integral envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = cos x
Então, a derivada de dudx = -sen x em relação a dx = -dusen x é:
Dessa forma, podemos rearranjar para obter :

Passo 3

Agora, substituímos integral sen x cdot u^25 + u^2 cdot (-dusen x) = -integral u^25 + u^2 , du na integral original. Substituindo e , a integral fica:
Note que cancela no numerador e denominador.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
u^25 + u^2 = 1 - 55 + u^2
Então, a integral se torna:
-integral (1 - 55 + u^2) , du = -integral 1 , du + 5 integral 15 + u^2 , du

Passo 5

Agora, resolvemos cada integral separadamente:
  1. - u + 5raiz5 arctan(uraiz5) + C = -u + raiz5 arctan(uraiz5) + C
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Finalmente, lembrando que - cos x + raiz5 arctan(cos xraiz5) + C , substituímos de volta para obter a solução em termos de :

Resposta

A integral resolve-se da seguinte forma:
Onde integral sen x cos^2 x5 + cos^2 x , dx = -cos x + raiz5 arctan(cos xraiz5) + C é a constante de integração.

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