Esboce a trajetória da partícula descrita pela função vetorial r(t) = (cos(t), sen(t)), para t no intervalo [0, 2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a trajetória de uma partícula que se move de acordo com a função vetorial , onde t varia de 0 a . Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre parametrizeação de curvas. Para resolver, vamos precisar entender como essa função descreve o movimento da partícula no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função vetorial . Aqui, representa a coordenada x e representa a coordenada y da posição da partícula no instante t. Isso significa que, para cada valor de t, temos um ponto (x, y) no plano.

Passo 3

Agora, sabemos que as funções e estão relacionadas com o círculo unitário. O círculo unitário é definido por todos os pontos (x, y) que satisfazem a equação . Vamos ver se nossa função vetorial atende a essa equação.

Passo 4

Substituindo e na equação do círculo, temos:
Isso confirma que todos os pontos gerados pela função r(t) estão sobre o círculo unitário.

Passo 5

Além disso, quando t varia de 0 a , o ângulo completo é percorrido, o que significa que a partícula faz uma volta completa ao redor do círculo. O movimento começa no ponto quando e retorna a esse ponto quando .

Passo 6

Então, para esboçar a trajetória, basta desenhar um círculo de raio 1 no plano cartesiano, com centro na origem . A partícula vai se mover no sentido anti-horário ao longo desse círculo à medida que t aumenta de 0 a .

Resposta

A trajetória da partícula é um círculo de raio 1 centrado na origem, percorrido uma vez no sentido anti-horário à medida que t varia de 0 a .

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