Esboce a trajetória da partícula descrita pela função vetorial
, para
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a trajetória de uma partícula que se move de acordo com a função vetorial
, onde
varia de
a
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre parametrizeação de curvas. Para resolver, vamos precisar entender como essa função descreve o movimento da partícula no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função vetorial
. Aqui,
representa a coordenada
e
representa a coordenada
da posição da partícula no instante
. Isso significa que, para cada valor de
, temos um ponto
no plano.
Passo 3
Agora, sabemos que as funções
e
estão relacionadas com o círculo unitário. O círculo unitário é definido por todos os pontos
que satisfazem a equação
. Vamos ver se nossa função vetorial atende a essa equação.
Passo 4
Substituindo
e
na equação do círculo, temos:
Isso confirma que todos os pontos gerados pela função
estão sobre o círculo unitário.
Passo 5
Além disso, quando
varia de
a
, o ângulo completo é percorrido, o que significa que a partícula faz uma volta completa ao redor do círculo. O movimento começa no ponto
quando
e retorna a esse ponto quando
.
Passo 6
Então, para esboçar a trajetória, basta desenhar um círculo de raio
no plano cartesiano, com centro na origem
. A partícula vai se mover no sentido anti-horário ao longo desse círculo à medida que
aumenta de
a
.
Resposta
A trajetória da partícula é um círculo de raio
centrado na origem, percorrido uma vez no sentido anti-horário à medida que
varia de
a
.