integral x^2+1(x^3+3 x)^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com o cálculo de integrais, especificamente utilizando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Observando o denominador u = x^3 + 3x , vamos definir:
Isso nos ajudará a simplificar a expressão da integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 3x^2 + 3 em relação a dudx = 3(x^2 + 1) para encontrar :
Podemos fatorar:

Passo 4

Rearranjando a expressão para dx = du3(x^2 + 1) , temos:
Essa relação nos permitirá substituir na integral original.

Passo 5

Substituindo integral x^2 +1(x^3+3 x)^2 , dx = integral x^2 +1u^2 cdot du3(x^2 +1) = 13 integral 1u^2 , du e na integral original:
Perceba que se cancela.

Passo 6

Agora, vamos integrar 13 integral u^-2 , du = 13 ( u^-1-1 ) + C = -13u + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos -13u + C = -13(x^3 + 3x) + C de volta em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

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