Determine a trajetória e esboce a curva definida por r(t) = (t, ln(t), raiz(t)), para t no intervalo [1, 3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre trajetória de uma curva paramétrica. A função que define a curva é , onde t varia de 1 a 3. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como trabalhar com curvas paramétricas, usar logaritmos e raízes quadradas. Vamos descobrir como essa curva se comporta no intervalo dado!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é uma representação paramétrica da curva no espaço tridimensional. Isso significa que para cada valor de t, temos um ponto no espaço com coordenadas (x, y, z) onde:
  • (logaritmo natural de t)
  • (raiz quadrada de t)

Passo 3

Agora, vamos escolher alguns valores de t dentro do intervalo [1, 3] para calcular os pontos correspondentes na curva. Vamos pegar valores inteiros para facilitar:
  • Para :
    • x = 1
    • Ponto:
  • Para :
    • x = 2
    • Ponto:
  • Para :
    • Ponto:

Passo 4

Com esses pontos calculados, podemos esboçar a curva no espaço. Imaginando um gráfico tridimensional:
  1. Começamos no ponto .
  2. Conforme t aumenta para 2, o ponto se move para .
  3. Finalmente, para , chegamos a .
A curva vai ligando esses pontos de forma suave, subindo tanto no eixo y (por causa do logaritmo) quanto no eixo z (por causa da raiz quadrada). Ela também se move para a direita no eixo x conforme t aumenta.

Resposta

A trajetória definida por para t entre 1 e 3 é uma curva que começa no ponto , passa por e termina em . No espaço tridimensional, essa curva se move para a direita no eixo x, sobe no eixo y e também se eleva no eixo z, formando uma trajetória suave conforme t varia de 1 a 3.

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