Determine a trajetória e esboce a curva definida por
, para
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre trajetória de uma curva paramétrica. A função que define a curva é
, onde
varia de 1 a 3. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como trabalhar com curvas paramétricas, usar logaritmos e raízes quadradas. Vamos descobrir como essa curva se comporta no intervalo dado!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa é uma representação paramétrica da curva no espaço tridimensional. Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto no espaço com coordenadas
onde:
-
-
(logaritmo natural de ) -
(raiz quadrada de )
Passo 3
Agora, vamos escolher alguns valores de
dentro do intervalo [1, 3] para calcular os pontos correspondentes na curva. Vamos pegar valores inteiros para facilitar:
-
Para
: -
-
-
- Ponto:
-
-
Para
: -
-
-
- Ponto:
-
-
Para
: -
-
-
- Ponto:
-
Passo 4
Com esses pontos calculados, podemos esboçar a curva no espaço. Imaginando um gráfico tridimensional:
- Começamos no ponto
. - Conforme
aumenta para 2, o ponto se move para . - Finalmente, para
, chegamos a .
A curva vai ligando esses pontos de forma suave, subindo tanto no eixo
(por causa do logaritmo) quanto no eixo
(por causa da raiz quadrada). Ela também se move para a direita no eixo
conforme
aumenta.
Resposta
A trajetória definida por
para
entre 1 e 3 é uma curva que começa no ponto
, passa por
e termina em
. No espaço tridimensional, essa curva se move para a direita no eixo
, sobe no eixo
e também se eleva no eixo
, formando uma trajetória suave conforme
varia de 1 a 3.