Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
. Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, quando elas se aproximam de
. O enunciado pede para encontrarmos o limite de:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de limites multivariáveis e entender como as funções se comportam quando
e
se aproximam de zero. Vamos examinar diferentes caminhos para ver se o limite existe e, em seguida, determinar onde as funções envolvidas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão que está no numerador:
. Sabemos que quando
é muito pequeno,
está próximo de
, então podemos aproximar
usando uma expansão em série de Taylor:
Aqui,
representa termos de ordem maior que
, que ficam desprezíveis quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
Podemos simplificar isso dividindo o numerador e o denominador por
:
Passo 4
Para analisar o comportamento desse limite, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais
se aproxima de
. Se o limite for o mesmo independente do caminho escolhido, ele existe. Caso contrário, o limite não existe.
Vamos tentar dois caminhos simples:
-
Caminho
: Substituindona expressão: Então, ao longo desse caminho, o limite é 0. -
Caminho
, onde é uma constante: Substituindo: Quandose aproxima de 0, se aproxima de 1, então: Esse resultado depende do valor de. Por exemplo: - Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Isso mostra que o limite muda dependendo do valor de, ou seja, do caminho escolhido. - Se
Passo 5
Como os limites obtidos ao longo de diferentes caminhos resultam em valores distintos (por exemplo, 0,
,
), concluímos que o limite não é o mesmo em todos os caminhos. Portanto, o limite:
não existe.
Passo 6
Agora, vamos determinar o maior conjunto onde cada uma das funções envolvidas é contínua.
-
Função
: A função logarítmicaestá definida e é contínua para todos os valores de tais que . Como é uma constante positiva, isso acontece para todo . -
Denominador
: O denominador está sempre positivo, já quee são não negativos, e pelo menos um deles é positivo, exceto quando e . -
Função completa
: A função está definida e é contínua para todos osonde o denominador não é zero e . Portanto, o maior conjunto de continuidade é:
Resposta
O limite não existe. O maior conjunto onde cada uma das funções é contínua é
.
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