Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: . Determine o maior conjunto onde cada uma das funções acima é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , quando elas se aproximam de . O enunciado pede para encontrarmos o limite de:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de limites multivariáveis e entender como as funções se comportam quando e se aproximam de zero. Vamos examinar diferentes caminhos para ver se o limite existe e, em seguida, determinar onde as funções envolvidas são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que está no numerador: . Sabemos que quando é muito pequeno, está próximo de , então podemos aproximar usando uma expansão em série de Taylor:
Aqui, representa termos de ordem maior que , que ficam desprezíveis quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
Podemos simplificar isso dividindo o numerador e o denominador por :

Passo 4

Para analisar o comportamento desse limite, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais se aproxima de . Se o limite for o mesmo independente do caminho escolhido, ele existe. Caso contrário, o limite não existe.
Vamos tentar dois caminhos simples:
  1. Caminho :
    Substituindo na expressão:
    Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
  2. Caminho , onde é uma constante:
    Substituindo :
    Quando se aproxima de 0, se aproxima de 1, então:
    Esse resultado depende do valor de . Por exemplo:
    • Se , o limite é .
    • Se , o limite é .
    Isso mostra que o limite muda dependendo do valor de , ou seja, do caminho escolhido.

Passo 5

Como os limites obtidos ao longo de diferentes caminhos resultam em valores distintos (por exemplo, 0, , ), concluímos que o limite não é o mesmo em todos os caminhos. Portanto, o limite:
não existe.

Passo 6

Agora, vamos determinar o maior conjunto onde cada uma das funções envolvidas é contínua.
  1. Função :
    A função logarítmica está definida e é contínua para todos os valores de tais que . Como é uma constante positiva, isso acontece para todo .
  2. Denominador :
    O denominador está sempre positivo, já que e são não negativos, e pelo menos um deles é positivo, exceto quando e .
  3. Função completa :
    A função está definida e é contínua para todos os onde o denominador não é zero e . Portanto, o maior conjunto de continuidade é:

Resposta

O limite não existe. O maior conjunto onde cada uma das funções é contínua é .

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