Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.
Passo 1
Então, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar a forma da equação e aplicar métodos apropriados, como a separação de variáveis ou fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a resolução. A equação é:
Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, temos a equação na forma:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando o método do fator integrante.
Passo 4
Identificamos os termos da equação na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 5
Calculamos o fator integrante, que é dado por:
Vamos resolver essa integral.
Passo 6
Para calcular a integral
, vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para A e B:
Para
:
Para
:
Então,
Passo 7
Portanto, o fator integrante é:
Passo 8
Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração.
Passo 10
Resolvemos para y:
Passo 11
Aplicamos a condição inicial
para encontrar C:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Calcule o ângulo entre os vetores
.
(a) e
(a)
Calcule o ângulo entre os vetores
.
(b) e
(b)
é contínua em
? Justifique sua resposta.