Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.

Passo 1

Então, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar a forma da equação e aplicar métodos apropriados, como a separação de variáveis ou fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a resolução. A equação é:
Vamos isolar :

Passo 3

Agora, temos a equação na forma:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida usando o método do fator integrante.

Passo 4

Identificamos os termos da equação na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 5

Calculamos o fator integrante, que é dado por:
Vamos resolver essa integral.

Passo 6

Para calcular a integral , vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para A e B:
Para :
Para :
Então,

Passo 7

Portanto, o fator integrante é:

Passo 8

Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Resolvemos para y:

Passo 11

Aplicamos a condição inicial para encontrar C:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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