Determine e esboce o domínio da função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos determinar e esboçar o domínio dessa função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares
) para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender as restrições da função arco-seno.
Passo 2
Sabemos que a função arco-seno, ou , está definida apenas para valores que estão entre -1 e 1. Ou seja, o argumento dentro do deve satisfazer:
Passo 3
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições sobre
e
.
Primeiro, somamos 2 em todas as partes da desigualdade para isolar
:
Passo 4
A desigualdade
descreve todos os pontos
que estão entre os círculos de raio 1 e 3 centrados na origem do plano
.
Passo 5
Portanto, o domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
tais que a soma dos quadrados de
e
está entre 1 e 3. Isso significa que estamos falando de uma região anelar (um anel) entre dois círculos.
Resposta
O domínio da função é o conjunto de pontos
que satisfazem:
Isso corresponde a uma região circularmente anelar entre os círculos de raio 1 e 3 no plano
.
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