Determine e esboce o domínio da função.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos determinar e esboçar o domínio dessa função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares ) para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender as restrições da função arco-seno.

Passo 2

Sabemos que a função arco-seno, ou , está definida apenas para valores que estão entre -1 e 1. Ou seja, o argumento dentro do deve satisfazer:

Passo 3

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições sobre e .
Primeiro, somamos 2 em todas as partes da desigualdade para isolar :

Passo 4

A desigualdade descreve todos os pontos que estão entre os círculos de raio 1 e 3 centrados na origem do plano .

Passo 5

Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos tais que a soma dos quadrados de e está entre 1 e 3. Isso significa que estamos falando de uma região anelar (um anel) entre dois círculos.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de pontos que satisfazem:
Isso corresponde a uma região circularmente anelar entre os círculos de raio 1 e 3 no plano .

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