Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazer o mapa de contorno da função que é basicamente desenhar as curvas de nível para a função dada:
Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrar essas curvas para a função em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que curvas de nível são conjuntos de pontos
onde a função
assume um valor constante
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma curva que representa todos os pontos onde
.
Passo 3
Então, vamos começar definindo
:
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre
e
que descreva essa curva para diferentes valores de
.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para facilitar a visualização. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar
:
Passo 5
Agora, vamos tentar expressar
em termos de
. Podemos rearranjar a equação:
No entanto, essa forma ainda é complicada para desenhar, então vamos optar por analisar diferentes valores de
para entender como as curvas de nível se comportam.
Passo 6
Vamos considerar alguns valores de
:
-
Quando
: Isso representa o eixo. -
Quando
:
A equaçãosugere que é positiva. As curvas serão simétricas em relação ao eixo e terão uma forma que depende de . -
Quando
:
Similar ao caso anterior, masserá negativa, então as curvas estarão abaixo do eixo .
Passo 7
Para visualizar melhor, podemos reorganizar a equação original para a forma polar, onde
e
:
Essa equação nos mostra que as curvas de nível são cardioides (corações) dependendo do valor de
.
Passo 8
Então, ao desenhar o mapa de contorno, você vai desenhar várias curvas de cardioides para diferentes valores de
. Cada curva representa um nível diferente da função
, mostrando como a função varia no plano
.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em várias curvas de cardioides para diferentes valores de
. Essas curvas mostram como a função varia no plano, com as curvas acima do eixo
correspondendo a
e as abaixo a
.
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