Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazer o mapa de contorno da função que é basicamente desenhar as curvas de nível para a função dada:
Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrar essas curvas para a função em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que curvas de nível são conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, para cada valor de , temos uma curva que representa todos os pontos onde .

Passo 3

Então, vamos começar definindo :
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre e que descreva essa curva para diferentes valores de .

Passo 4

Vamos resolver essa equação para facilitar a visualização. Multiplicando ambos os lados por :
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar :

Passo 5

Agora, vamos tentar expressar em termos de . Podemos rearranjar a equação:
No entanto, essa forma ainda é complicada para desenhar, então vamos optar por analisar diferentes valores de para entender como as curvas de nível se comportam.

Passo 6

Vamos considerar alguns valores de :
  1. Quando :
    Isso representa o eixo .
  2. Quando :
    A equação sugere que é positiva. As curvas serão simétricas em relação ao eixo e terão uma forma que depende de .
  3. Quando :
    Similar ao caso anterior, mas será negativa, então as curvas estarão abaixo do eixo .

Passo 7

Para visualizar melhor, podemos reorganizar a equação original para a forma polar, onde e :
Essa equação nos mostra que as curvas de nível são cardioides (corações) dependendo do valor de .

Passo 8

Então, ao desenhar o mapa de contorno, você vai desenhar várias curvas de cardioides para diferentes valores de . Cada curva representa um nível diferente da função , mostrando como a função varia no plano .

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em várias curvas de cardioides para diferentes valores de . Essas curvas mostram como a função varia no plano, com as curvas acima do eixo correspondendo a e as abaixo a .

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Descreva as superfícies de nível da função.