Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o mapa de contorno da função e mostrar várias curvas de nível. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no plano e quais valores de vamos usar para desenhá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante , ou seja, . No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para em termos de e . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, rearranjamos para isolar :

Passo 4

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :
Isso mostra que para cada valor de , temos duas curvas: uma acima do eixo e outra simétrica abaixo.

Passo 5

Vamos analisar o formato dessas curvas. A equação representa hipérboles no plano . Isso porque a diferença entre e é constante ( ), característica das hipérboles.

Passo 6

Agora, vamos escolher alguns valores de para desenhar as curvas de nível. Por exemplo, podemos escolher . Para cada , teremos duas hipérboles:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Vamos desenhar essas hipérboles no plano :
  1. Para :
    • Hipérbole mais próxima ao eixo .
  2. Para :
    • Hipérbole um pouco mais afastada.
  3. Para :
    • Hipérbole ainda mais afastada.
Cada par de hipérboles representa uma curva de nível diferente da função.

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em várias hipérboles simétricas em relação ao eixo , correspondentes aos valores de . Cada curva de nível é dada por , formando hipérboles mais afastadas do eixo conforme o valor de aumenta.

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Esboce o gráfico da função.