Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o mapa de contorno da função
e mostrar várias curvas de nível. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no plano
e quais valores de
vamos usar para desenhá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
, ou seja,
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para
em termos de
e
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, rearranjamos para isolar
:
Passo 4
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Isso mostra que para cada valor de
, temos duas curvas: uma acima do eixo
e outra simétrica abaixo.
Passo 5
Vamos analisar o formato dessas curvas. A equação
representa hipérboles no plano
. Isso porque a diferença entre
e
é constante (
), característica das hipérboles.
Passo 6
Agora, vamos escolher alguns valores de
para desenhar as curvas de nível. Por exemplo, podemos escolher
. Para cada
, teremos duas hipérboles:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 7
Vamos desenhar essas hipérboles no plano
:
- Para
: - Hipérbole mais próxima ao eixo
.
- Hipérbole mais próxima ao eixo
- Para
: - Hipérbole um pouco mais afastada.
- Para
: - Hipérbole ainda mais afastada.
Cada par de hipérboles representa uma curva de nível diferente da função.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em várias hipérboles simétricas em relação ao eixo
, correspondentes aos valores de
. Cada curva de nível é dada por
, formando hipérboles mais afastadas do eixo
conforme o valor de
aumenta.
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