Use um computador para investigar a família de funções f(x, y) = e^(c x^2 + y^2). De que maneira a forma do gráfico depende de c ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos entender como o gráfico dela muda quando o valor de varia. Isso envolve conceitos de funções multivariáveis e gráficos tridimensionais. Vamos precisar entender como o parâmetro afeta a forma geral da superfície criada por essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma função exponencial onde é o expoente. Na nossa função, o expoente é . Isso significa que o valor de depende de como e influenciam .

Passo 3

Vamos analisar o papel de na função. Quando aumenta, especialmente se for positivo, o termo também aumenta para valores maiores de . Isso faz com que cresça mais rapidamente à medida que nos afastamos do centro (onde ).
Por outro lado, se for negativo, o termo diminui à medida que aumenta, o que pode reduzir o crescimento de nessa direção.

Passo 4

Além disso, vamos considerar como isso afeta o gráfico tridimensional. Com positivo, a superfície tende a se “abrir” mais na direção do eixo , criando uma forma mais curvada. Já com negativo, a superfície pode ficar menos curvada ou até mesmo se “achar”, dependendo do valor de .

Passo 5

Para visualizar melhor, podemos imaginar que controla a “largura” da curva em relação a . Valores maiores de (positivos) fazem com que a função suba mais rapidamente, resultando em uma superfície mais íngreme. Valores menores ou negativos suavizam essa subida, tornando a superfície mais plana.

Resposta

A forma do gráfico da função depende do valor de de maneira que, quanto maior for (positivo), o gráfico se curva mais acentuadamente na direção do eixo , tornando a superfície mais íngreme. Se for menor ou negativo, a curvatura na direção de é suavizada, resultando em uma superfície mais plana. Portanto, o parâmetro controla a taxa de crescimento da função em relação a , influenciando diretamente a forma geral do gráfico tridimensional.

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