Use um computador para investigar a família de funções
. De que maneira a forma do gráfico depende de
?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos entender como o gráfico dela muda quando o valor de
varia. Isso envolve conceitos de funções multivariáveis e gráficos tridimensionais. Vamos precisar entender como o parâmetro
afeta a forma geral da superfície criada por essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma função exponencial onde
é o expoente. Na nossa função, o expoente é
. Isso significa que o valor de
depende de como
e
influenciam
.
Passo 3
Vamos analisar o papel de
na função. Quando
aumenta, especialmente se for positivo, o termo
também aumenta para valores maiores de
. Isso faz com que
cresça mais rapidamente à medida que nos afastamos do centro (onde
).
Por outro lado, se
for negativo, o termo
diminui à medida que
aumenta, o que pode reduzir o crescimento de
nessa direção.
Passo 4
Além disso, vamos considerar como isso afeta o gráfico tridimensional. Com
positivo, a superfície tende a se “abrir” mais na direção do eixo
, criando uma forma mais curvada. Já com
negativo, a superfície pode ficar menos curvada ou até mesmo se “achar”, dependendo do valor de
.
Passo 5
Para visualizar melhor, podemos imaginar que
controla a “largura” da curva em relação a
. Valores maiores de
(positivos) fazem com que a função suba mais rapidamente, resultando em uma superfície mais íngreme. Valores menores ou negativos suavizam essa subida, tornando a superfície mais plana.
Resposta
A forma do gráfico da função
depende do valor de
de maneira que, quanto maior for
(positivo), o gráfico se curva mais acentuadamente na direção do eixo
, tornando a superfície mais íngreme. Se
for menor ou negativo, a curvatura na direção de
é suavizada, resultando em uma superfície mais plana. Portanto, o parâmetro
controla a taxa de crescimento da função em relação a
, influenciando diretamente a forma geral do gráfico tridimensional.
Exercícios relacionados
Determine e esboce o domínio da função.
Seja
.
(a) Calcule
(a) Calcule
Um modelo para a área da superfície de um corpo humano é dado pela função
onde
é o peso (em libras),
é a altura (em polegadas) e
é medida em pés quadrados.
(a) Encontre e interprete-a.
(a) Encontre
Seja
.
(a) Calcule
(a) Calcule