Determine e esboce o dominio da função. p(x, y) = raiz(x * y) / (x + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores das variáveis que deixam a função bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender as condições que tornam a função válida, como a raiz quadrada e o denominador diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da função: . Sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, o que está dentro da raiz, , deve ser maior ou igual a zero:
Isso significa que ou e são ambos positivos, ou ambos negativos, ou pelo menos um deles é zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . A divisão por zero não é permitida, então o denominador não pode ser igual a zero:
Portanto, não pode ser igual a -1.

Passo 4

Juntando as duas condições que encontramos:
Essas são as restrições que definem o domínio da função. Vamos resumir isso:
  • Se , então também precisa ser .
  • Se , então também precisa ser .
  • não pode ser -1.

Passo 5

Para esboçar o domínio, podemos pensar no plano :
  • A condição corresponde às regiões onde e têm o mesmo sinal, ou seja, o primeiro e terceiro quadrantes, incluindo os eixos.
  • A restrição significa que a linha vertical está excluída do domínio.

Resposta

O domínio da função é todo conjunto de pontos no plano onde e . No esboço, isso corresponde aos primeiros e terceiros quadrantes, incluindo os eixos, com a linha excluída.

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