Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
quando as variáveis
e
tendem ao infinito. Isso envolve conceitos de limites em funções de várias variáveis e análise de como diferentes termos crescem conforme as variáveis aumentam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos do numerador e do denominador para identificar quais crescem mais rápido quando
e
aumentam. No numerador, temos
e no denominador
. Nosso objetivo é ver qual desses termos domina à medida que
e
vão para o infinito.
Passo 3
Uma boa estratégia é considerar diferentes maneiras de como
e
podem crescer juntos. Vamos supor que
e
estão relacionados por uma potência, ou seja,
, onde
é algum número real. Isso nos ajuda a simplificar a expressão e analisar o comportamento do limite.
Passo 4
Substituindo
na função, temos:
Agora, vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
(o maior expoente no denominador):
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento dessa expressão dependendo do valor de
:
-
Se
: - O termo
tende a 0 porque o expoente é negativo. - No denominador,
também tende a 0, então a expressão fica .
- O termo
-
Se
: - A expressão fica
.
- A expressão fica
-
Se
: - O termo
tende a infinito porque o expoente é positivo. - No denominador,
tende a infinito, mas o crescimento do denominador é mais rápido. - Portanto, a expressão tende a 0.
- O termo
Passo 6
Observamos que, dependendo do valor de
, o limite pode ser 0 ou
. Isso significa que o valor do limite depende do caminho pelo qual
tende ao infinito. Em termos mais simples, diferentes maneiras de fazer
e
aumentarem levam a resultados diferentes.
Resposta
O limite não existe, pois seu valor depende do caminho de aproximação.
Exercícios relacionados
Determine e esboce o dominio da função.
Determine e esboce o dominio da função.
Mostre que o limite não existe.
Use o Teorema do Confronto para determinar o limite.