Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (infty) x y^4x^2+y^8

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função x y^4x^2+y^8 quando as variáveis x e y tendem ao infinito. Isso envolve conceitos de limites em funções de várias variáveis e análise de como diferentes termos crescem conforme as variáveis aumentam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos do numerador e do denominador para identificar quais crescem mais rápido quando x e y aumentam. No numerador, temos x y^4 e no denominador x^2 + y^8. Nosso objetivo é ver qual desses termos domina à medida que x e y vão para o infinito.

Passo 3

Uma boa estratégia é considerar diferentes maneiras de como x e y podem crescer juntos. Vamos supor que x e y estão relacionados por uma potência, ou seja, x = y^k, onde k é algum número real. Isso nos ajuda a simplificar a expressão e analisar o comportamento do limite.

Passo 4

Substituindo x = y^k na função, temos:
y^k cdot y^4y^2k + y^8 = y^k+4y^2k + y^8
Agora, vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador por y^8 (o maior expoente no denominador):
y^k+4-8y^2ky^8 + 1 = y^k-4y^2k-8 + 1

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento dessa expressão dependendo do valor de k:
  1. Se k < 4:
    • O termo y^k-4 tende a 0 porque o expoente é negativo.
    • No denominador, y^2k-8 também tende a 0, então a expressão fica 00 + 1 = 0.
  2. Se k = 4:
    • A expressão fica y^0y^0 + 1 = 11 + 1 = 12.
  3. Se k > 4:
    • O termo y^k-4 tende a infinito porque o expoente é positivo.
    • No denominador, y^2k-8 tende a infinito, mas o crescimento do denominador é mais rápido.
    • Portanto, a expressão tende a 0.

Passo 6

Observamos que, dependendo do valor de k, o limite pode ser 0 ou 12. Isso significa que o valor do limite depende do caminho pelo qual (x, y) tende ao infinito. Em termos mais simples, diferentes maneiras de fazer x e y aumentarem levam a resultados diferentes.

Resposta

O limite não existe, pois seu valor depende do caminho de aproximação.

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