Mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Vamos usar conceitos de limites em duas variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que um limite não existe. Em funções de duas variáveis, se chegarmos a valores diferentes ao nos aproximarmos do ponto de interesse por caminhos diferentes, isso indica que o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de
e calcular o limite em cada um deles. Se os resultados forem diferentes, concluímos que o limite não existe.
Passo 4
Primeiro Caminho: Vamos nos aproximar de
ao longo do eixo
, ou seja, fixando
.
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Passo 5
Segundo Caminho: Vamos nos aproximar de
ao longo da linha
.
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Passo 6
Comparando os dois caminhos:
- Ao longo do eixo
, o limite tende para . - Ao longo da linha
, o limite é igual a .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite da função
quando
não existe.
Resposta
O limite
não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de
por caminhos distintos.
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