Mostre que o limite não existe. lim (x) y) (0) x^2+x y^2x^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que o limite da função quando se aproxima de não existe. Vamos usar conceitos de limites em duas variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que um limite não existe. Em funções de duas variáveis, se chegarmos a valores diferentes ao nos aproximarmos do ponto de interesse por caminhos diferentes, isso indica que o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de e calcular o limite em cada um deles. Se os resultados forem diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 4

Primeiro Caminho: Vamos nos aproximar de x^2 + x cdot 0^2x^4 + 0^2 = x^2x^4 = 1x^2 ao longo do eixo limx to 0 1x^2 = +infty , ou seja, fixando .
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando :

Passo 5

Segundo Caminho: Vamos nos aproximar de x^2 + x cdot x^2x^4 + x^2 = x^2 + x^3x^4 + x^2 = x^2(1 + x)x^2(x^2 + 1) = 1 + xx^2 + 1 ao longo da linha limx to 0 1 + xx^2 + 1 = 1 + 00 + 1 = 1 .
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando :

Passo 6

Comparando os dois caminhos:
  • Ao longo do eixo , o limite tende para .
  • Ao longo da linha , o limite é igual a .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite da função quando não existe.

Resposta

O limite não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de por caminhos distintos.

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