Seja dada
. Determine o conjunto imagem de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar o conjunto imagem da função
. Estamos lidando com funções e seus conjuntos imagem, que é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Para resolver isso, vamos precisar entender como as expressões dentro da função afetam os possíveis valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Para que essa raiz seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero, ou seja:
Isso significa que:
Então, nosso domínio (conjunto de valores possíveis para
e
) é todo par
onde
é pelo menos igual a
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função exponencial:
. Sabemos que a função exponencial
é sempre positiva e aumenta conforme
aumenta. Portanto,
também será sempre maior que zero.
Passo 4
Como
, a expressão
pode variar de zero até infinito. Quando
, temos
, e
. À medida que
aumenta,
aumenta, fazendo com que
também aumente sem limites.
Passo 5
Portanto, o menor valor que
pode assumir é 1, e não há um limite superior. Assim, o conjunto imagem de
é:
Ou seja, todos os números reais maiores ou iguais a 1.
Resposta
O conjunto imagem de
é
.
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Seja dada
. Determine e esboce o dominio de
.
Dada
, determine
Determine e esboce o dominio da função.
Determine e esboce o dominio da função.