Seja dada . Determine o conjunto imagem de .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar o conjunto imagem da função . Estamos lidando com funções e seus conjuntos imagem, que é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Para resolver isso, vamos precisar entender como as expressões dentro da função afetam os possíveis valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada: . Para que essa raiz seja real, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero, ou seja:
Isso significa que:
Então, nosso domínio (conjunto de valores possíveis para e ) é todo par onde é pelo menos igual a .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função exponencial: . Sabemos que a função exponencial é sempre positiva e aumenta conforme aumenta. Portanto, também será sempre maior que zero.

Passo 4

Como , a expressão pode variar de zero até infinito. Quando , temos , e . À medida que aumenta, aumenta, fazendo com que também aumente sem limites.

Passo 5

Portanto, o menor valor que pode assumir é 1, e não há um limite superior. Assim, o conjunto imagem de é:
Ou seja, todos os números reais maiores ou iguais a 1.

Resposta

O conjunto imagem de é .

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Seja dada . Determine e esboce o dominio de .
Dada , determine
Determine e esboce o dominio da função.
Determine e esboce o dominio da função.