Determine e esboce o domínio da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função . Aqui, a gente vai trabalhar com funções de duas variáveis e vai precisar entender onde essa função está definida, ou seja, para quais valores de e a função dá um resultado válido.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que está no denominador da fração: . A gente sabe que não pode dividir por zero, então o denominador não pode ser igual a zero. Assim:
Isso significa que qualquer par que satisfaça essa equação não faz parte do domínio.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador: . A expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo nos números reais. Então:
Isso simplifica para:
Essa é a equação de um círculo de raio 3 centrado na origem. Então, estamos falando de todos os pontos dentro ou na borda desse círculo.

Passo 4

Finalmente, para encontrar o domínio da função, a gente precisa que as duas condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo:
  1. (dentro ou na borda do círculo)
  2. (fora da linha onde )
Isso significa que o domínio é todo o conjunto de pontos que estão dentro ou na borda do círculo de raio 3, exceto aqueles que estão sobre a linha .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem:
Isso corresponde a todos os pontos dentro ou na borda do círculo de raio 3 centrado na origem, excluindo os pontos que estão sobre a linha .

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Seja .
Determine a imagem .
Seja .
Determine a imagem de
Determine e esboce o domínio da função.
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.