Determine e esboce o domínio da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar e esboçar o domínio da função
. Aqui, a gente vai trabalhar com funções de duas variáveis e vai precisar entender onde essa função está definida, ou seja, para quais valores de
e
a função dá um resultado válido.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que está no denominador da fração:
. A gente sabe que não pode dividir por zero, então o denominador não pode ser igual a zero. Assim:
Isso significa que qualquer par
que satisfaça essa equação não faz parte do domínio.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o numerador:
. A expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo nos números reais. Então:
Isso simplifica para:
Essa é a equação de um círculo de raio 3 centrado na origem. Então, estamos falando de todos os pontos dentro ou na borda desse círculo.
Passo 4
Finalmente, para encontrar o domínio da função, a gente precisa que as duas condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo:
-
(dentro ou na borda do círculo) -
(fora da linha onde )
Isso significa que o domínio é todo o conjunto de pontos que estão dentro ou na borda do círculo de raio 3, exceto aqueles que estão sobre a linha
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem:
Isso corresponde a todos os pontos dentro ou na borda do círculo de raio 3 centrado na origem, excluindo os pontos que estão sobre a linha
.
Exercícios relacionados
Seja
.
Determine a imagem .
Determine a imagem
Seja
.
Determine a imagem de
Determine a imagem de
Determine e esboce o domínio da função.
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.