Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fazermos o mapa de contorno da função
, mostrando várias curvas de nível. Isso está relacionado à matéria de Cálculo, mais especificamente sobre funções de duas variáveis e suas representações gráficas. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível, ou curva de contorno, é o conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante, digamos
. Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Para simplificar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para eliminar a exponencial:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Essa equação representa uma circunferência com raio
centrada na origem
.
Passo 5
Então, cada valor de
maior que 1 gera uma circunferência diferente. À medida que
aumenta,
também aumenta, fazendo com que o raio
diminua. Isso significa que curvas de nível com valores maiores de
são círculos menores próximos ao centro.
Passo 6
Para visualizar o mapa de contorno, escolhemos vários valores de
maior que 1 e desenhamos as respectivas circunferências:
- Para
, temos , então . - Para
, , então . - Para
, , então .
E assim por diante.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em várias circunferências concentricas centradas na origem, onde cada curva de nível corresponde a
para diferentes valores de
. À medida que
aumenta, o raio das circunferências diminui, formando um conjunto de círculos menores próximos ao centro.
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Determine e esboce o domínio da função.
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Seja
.
Determine e esboce o domínio de .
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Seja
.
Calcule .
Calcule