Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fazermos o mapa de contorno da função , mostrando várias curvas de nível. Isso está relacionado à matéria de Cálculo, mais especificamente sobre funções de duas variáveis e suas representações gráficas. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível, ou curva de contorno, é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, digamos . Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
Para simplificar, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para eliminar a exponencial:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Essa equação representa uma circunferência com raio centrada na origem .

Passo 5

Então, cada valor de maior que 1 gera uma circunferência diferente. À medida que aumenta, também aumenta, fazendo com que o raio diminua. Isso significa que curvas de nível com valores maiores de são círculos menores próximos ao centro.

Passo 6

Para visualizar o mapa de contorno, escolhemos vários valores de maior que 1 e desenhamos as respectivas circunferências:
  • Para , temos , então .
  • Para , , então .
  • Para , , então .
E assim por diante.

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em várias circunferências concentricas centradas na origem, onde cada curva de nível corresponde a para diferentes valores de . À medida que aumenta, o raio das circunferências diminui, formando um conjunto de círculos menores próximos ao centro.

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Determine e esboce o domínio da função.
Determine e esboce o domínio da função.
Seja .
Determine e esboce o domínio de .
Seja .
Calcule .