Seja .
Determine a imagem de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e a missão é descobrir qual é a imagem dessa função. Basicamente, isso significa descobrir todos os possíveis valores que pode assumir quando e variam em todos os números reais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como elas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial sempre dá um número positivo, ou seja, para qualquer número real . Isso já nos dá um primeiro palpite sobre a imagem de : ela vai ser um conjunto de números positivos.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o expoente da nossa função, que é . Aqui, significa que está sempre sendo elevado ao quadrado, o que torna sempre não negativo (sempre maior ou igual a zero). Já pode ser qualquer número real, positivo ou negativo.

Passo 4

Vamos pensar em como pode variar:
  • Se aumentarmos , diminui.
  • Se diminuirmos , aumenta.
    Além disso, como pode ser qualquer número real, pode crescer sem limites. Isso significa que pode ser qualquer número real, positivo ou negativo.

Passo 5

Voltando à nossa função , já sabemos que:
  • O expoente pode ser qualquer número real.
  • A função exponencial de qualquer número real é sempre positiva.
    Portanto, pode assumir qualquer valor positivo.

Resposta

A imagem de é o conjunto de todos os números reais positivos, ou seja, .

Exercícios relacionados

Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Esboce o gráfico da função.
Seja .
Determine a imagem .
Determine e esboce o domínio da função.