Seja
.
Determine a imagem de
Determine a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e a missão é descobrir qual é a imagem dessa função. Basicamente, isso significa descobrir todos os possíveis valores que
pode assumir quando
e
variam em todos os números reais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como elas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial
sempre dá um número positivo, ou seja,
para qualquer número real
. Isso já nos dá um primeiro palpite sobre a imagem de
: ela vai ser um conjunto de números positivos.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o expoente da nossa função, que é
. Aqui,
significa que
está sempre sendo elevado ao quadrado, o que torna
sempre não negativo (sempre maior ou igual a zero). Já
pode ser qualquer número real, positivo ou negativo.
Passo 4
Vamos pensar em como
pode variar:
- Se aumentarmos
, diminui. - Se diminuirmos
, aumenta.
Além disso, comopode ser qualquer número real, pode crescer sem limites. Isso significa que pode ser qualquer número real, positivo ou negativo.
Passo 5
Voltando à nossa função
, já sabemos que:
- O expoente
pode ser qualquer número real. - A função exponencial de qualquer número real é sempre positiva.
Portanto,pode assumir qualquer valor positivo.
Resposta
A imagem de
é o conjunto de todos os números reais positivos, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Esboce o gráfico da função.
Seja
.
Determine a imagem .
Determine a imagem
Determine e esboce o domínio da função.