Seja
.
Determine a imagem
.
Determine a imagem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
. Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa função, ou seja, quais valores
pode assumir quando
,
e
variam em todos os números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas e como elas se comportam quando multiplicadas por outras expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte dentro do logaritmo:
. O logaritmo natural,
, está definido apenas quando
. Então, para que
exista, precisamos que:
Isso significa que a combinação
deve ser positiva para que possamos calcular o logaritmo.
Passo 3
Agora, vamos pensar no termo
. Sabemos que qualquer número real ao quadrado é sempre não negativo:
Portanto,
pode ser zero ou qualquer número positivo.
Passo 4
Combinando essas duas informações, a função
pode assumir diferentes comportamentos:
-
Se
: Ou seja, quandoé zero, é zero. -
Se
: - Quando
: - Quando
: - Quando
:
- Quando
Passo 5
Vamos agora verificar se é possível que
assuma qualquer valor real. Para isso, precisamos ver se, para qualquer número real
, conseguimos encontrar valores de
,
e
que satisfaçam
.
-
Para
: Já vimos que basta escolher ou . -
Para
: Podemos escolher qualquer e ajustar e de forma que . Por exemplo, fixar , onde . -
Para
: Similarmente, escolhemos e ajustamos e para que .
Como conseguimos encontrar valores para
,
e
que fazem
para qualquer
real, concluímos que a imagem da função abrange todos os números reais.
Resposta
A imagem da função
é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
.
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Seja
.
Determine a imagem de
Determine a imagem de
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Determine e esboce o domínio da função.
Determine e esboce o domínio da função.