Seja .
Determine a imagem .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função . Nosso objetivo é descobrir qual é a imagem dessa função, ou seja, quais valores pode assumir quando , e variam em todos os números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções logarítmicas e como elas se comportam quando multiplicadas por outras expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte dentro do logaritmo: . O logaritmo natural, , está definido apenas quando . Então, para que exista, precisamos que:
Isso significa que a combinação deve ser positiva para que possamos calcular o logaritmo.

Passo 3

Agora, vamos pensar no termo . Sabemos que qualquer número real ao quadrado é sempre não negativo:
Portanto, pode ser zero ou qualquer número positivo.

Passo 4

Combinando essas duas informações, a função pode assumir diferentes comportamentos:
  1. Se :
    Ou seja, quando é zero, é zero.
  2. Se :
    • Quando :
    • Quando :
    • Quando :

Passo 5

Vamos agora verificar se é possível que assuma qualquer valor real. Para isso, precisamos ver se, para qualquer número real , conseguimos encontrar valores de , e que satisfaçam .
  • Para : Já vimos que basta escolher ou .
  • Para : Podemos escolher qualquer e ajustar e de forma que . Por exemplo, fixar , onde .
  • Para : Similarmente, escolhemos e ajustamos e para que .
Como conseguimos encontrar valores para , e que fazem para qualquer real, concluímos que a imagem da função abrange todos os números reais.

Resposta

A imagem da função é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .

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Seja .
Determine a imagem de
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
Determine e esboce o domínio da função.
Determine e esboce o domínio da função.