Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função
e precisamos determinar o domínio dela. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
e
que deixam a função bem definida. Como nossa função é uma fração, a gente precisa garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero não existe. Então, vamos focar em achar para quais valores de
e
o denominador
não é igual a zero.
Passo 2
Vamos começar identificando quando o denominador é igual a zero:
Se conseguirmos resolver essa equação, saberemos exatamente onde a função não está definida. O objetivo é achar todos os pares
que não satisfazem essa equação.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos completar o quadrado na parte que envolve
. Primeiro, vamos reescrever os termos:
Fatorando o 9 nos primeiros dois termos:
Agora, completamos o quadrado para
dentro dos parênteses:
Substituindo de volta na equação:
Distribuindo o 9:
Simplificando:
Passo 4
Vamos isolar os termos quadráticos:
Dividindo tudo por 36 para simplificar:
Passo 5
A equação
representa uma elipse com centro no ponto
, semi-eixo maior de comprimento 3 na direção
e semi-eixo menor de comprimento 2 na direção
. Isso significa que o denominador da nossa função original será zero exatamente nos pontos que estão sobre essa elipse.
Portanto, para que a função esteja definida, precisamos evitar todos esses pontos da elipse.
Resposta
O domínio da função
é todos os pares
no plano real que não estão na elipse definida por
. Em outras palavras, qualquer
que não satisfaça essa equação está no domínio da função.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n) ;
n)
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
h) ;
h)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
b) ;
b)