Determine e esboce o domínio das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função e precisamos determinar o domínio dela. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de e que deixam a função bem definida. Como nossa função é uma fração, a gente precisa garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero não existe. Então, vamos focar em achar para quais valores de e o denominador não é igual a zero.

Passo 2

Vamos começar identificando quando o denominador é igual a zero:
Se conseguirmos resolver essa equação, saberemos exatamente onde a função não está definida. O objetivo é achar todos os pares que não satisfazem essa equação.

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos completar o quadrado na parte que envolve . Primeiro, vamos reescrever os termos:
Fatorando o 9 nos primeiros dois termos:
Agora, completamos o quadrado para dentro dos parênteses:
Substituindo de volta na equação:
Distribuindo o 9:
Simplificando:

Passo 4

Vamos isolar os termos quadráticos:
Dividindo tudo por 36 para simplificar:

Passo 5

A equação representa uma elipse com centro no ponto , semi-eixo maior de comprimento 3 na direção e semi-eixo menor de comprimento 2 na direção . Isso significa que o denominador da nossa função original será zero exatamente nos pontos que estão sobre essa elipse.
Portanto, para que a função esteja definida, precisamos evitar todos esses pontos da elipse.

Resposta

O domínio da função é todos os pares no plano real que não estão na elipse definida por . Em outras palavras, qualquer que não satisfaça essa equação está no domínio da função.

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Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n) ;
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
h) ;
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
b) ;