Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n)
;
n)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que a gente tem aqui:
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver, precisamos verificar se ela é exata ou se precisamos usar um fator integrante.
Passo 2
Vamos começar verificando se a equação é exata. Uma equação na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Observamos que:
Perceba que
, ou seja, a equação é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Nosso objetivo é encontrar essa função
.
Passo 6
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Integrando cada termo:
Para o segundo termo, como
é constante em relação a
, podemos tratar
como fator constante:
Esse tipo de integral requer o uso de integração por partes ou uma tabela de integrais.
Passo 8
Da mesma forma, para o terceiro termo:
Novamente, usamos integração por partes para resolver
.
Passo 9
Após integrar todos os termos, reunimos os resultados e adicionamos uma função
que depende apenas de
:
Passo 10
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Calculando a derivada:
Igualando a
:
Passo 11
Vemos que os termos envolvendo
já estão equilibrados, então sobra:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 12
Agora, juntamos tudo para a função potencial
:
Passo 13
A solução geral da equação diferencial é onde
. Então, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Imagine que, em certa região do espaço, o potencial elétrico
, em Volts, seja expresso pela função
, com as coordenadas
e
dadas em metros. Qual é a direção de maior variação de V no ponto P ?
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
i) ;
i)
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Determine e esboce o domínio das seguintes funções: