Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
n) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que a gente tem aqui:
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver, precisamos verificar se ela é exata ou se precisamos usar um fator integrante.

Passo 2

Vamos começar verificando se a equação é exata. Uma equação na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Aqui, temos:
Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando :
Calculando :

Passo 4

Observamos que:
Perceba que , ou seja, a equação é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Nosso objetivo é encontrar essa função .

Passo 6

Para encontrar , integramos em relação a :
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando cada termo:
Para o segundo termo, como é constante em relação a , podemos tratar como fator constante:
Esse tipo de integral requer o uso de integração por partes ou uma tabela de integrais.

Passo 8

Da mesma forma, para o terceiro termo:
Novamente, usamos integração por partes para resolver .

Passo 9

Após integrar todos os termos, reunimos os resultados e adicionamos uma função que depende apenas de :

Passo 10

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Calculando a derivada:
Igualando a :

Passo 11

Vemos que os termos envolvendo já estão equilibrados, então sobra:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 12

Agora, juntamos tudo para a função potencial :

Passo 13

A solução geral da equação diferencial é onde . Então, podemos escrever:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde é uma constante arbitrária.

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Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
i) ;
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