Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Aqui, vamos trabalhar com cálculo de derivadas parciais e a fórmula da derivada direcional. Precisamos achar as derivadas parciais de em relação a e , avaliar essas derivadas no ponto dado, e então usar a direção do vetor para encontrar a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função .
Para a derivada parcial em relação a :
Simplificando:
Para a derivada parcial em relação a :
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Substituindo e em :
E em :
Passo 4
Agora, vamos montar o gradiente da função no ponto . O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Passo 5
A derivada direcional na direção do vetor é dada pelo produto escalar entre o gradiente e a direção unitária do vetor .
Primeiro, verificamos se já é um vetor unitário:
Então, já é unitário.
Passo 6
Agora, calculamos a derivada direcional:
Fazendo o produto escalar:
Podemos simplificar:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .