Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
b)
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a relação
é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) dada por
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente de derivadas e equações diferenciais. Vamos precisar entender como diferenciar implicitamente e verificar se a relação satisfaz a EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação que nos foi dada:
. Essa equação relaciona
e
de forma implícita, onde
é uma constante arbitrária. Nossa tarefa é ver se, ao derivar essa relação em relação a
, ela resulta na EDO fornecida.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia para as partes que envolvem
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de uma constante
é
.
Então, diferenciando ambos os lados:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a expressão resultante da derivação:
Essa expressão coincide exatamente com a EDO que nos foi dada:
Resposta
Sim, a relação
é uma solução geral da EDO
, pois, ao diferenciarmos a relação dada, chegamos exatamente à EDO apresentada.
Exercícios relacionados
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
h) ;
h)
Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
c) ;
c)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
g) ;
g)