Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
h)
;
h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é solução geral da equação diferencial ordinária (EDO)
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem e verificar se, ao substituir
na EDO, a equação é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
. Vamos precisar da primeira e segunda derivadas de
.
A função é:
Vamos chamar de:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada
usando a regra do produto:
Calculando
e
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
novamente usando a regra do produto:
Passo 5
Agora que temos
,
e
, vamos substituir na EDO:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar termo a termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando todos os termos:
Passo 7
Agora, vamos somar os coeficientes de cada termo:
- Para
: - Para :
Então, todos os termos se cancelam e temos:
Resposta
Sim, a função é solução geral da EDO
, pois ao substituir na equação, obtemos uma identidade verdadeira.
Exercícios relacionados
Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
b) ;
b)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
c) ;
c)