Determine e esboce o domínio das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre encontrar e desenhar o domínio da função . Isso envolve entender para quais valores de a função está definida. Vamos precisar saber sobre radicais (raízes quadradas) e frações, já que temos ambos na função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada parte da função separadamente para ver quais valores de são permitidos.
  1. :
    • O denominador não pode ser zero, porque não dá para dividir por zero.
    • Além disso, o que está dentro da raiz quadrada, , precisa ser maior que zero, já que não existe raiz quadrada de número negativo nos números reais.
  2. :
    • O que está dentro da raiz quadrada, , também precisa ser maior ou igual a zero.

Passo 3

Vamos traduzir isso em inequações:
  1. Para :
    • Então,
  2. Para :
    • Então,

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem ambas as condições acima simultaneamente. Ou seja, deve ser maior ou igual a e menor que .

Passo 5

Vamos representar isso em intervalo:
  • e
  • Em notação de intervalo:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais tais que . Em intervalo, isso é .

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A segunda derivada direcional de é . Se e , calcule .