Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.

Passo 1

Então, a gente tem uma função e precisa descobrir qual é a taxa de variação máxima e mínima dessa função no ponto , além de saber em que direção essas variações acontecem. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que vai nos mostrar a direção da maior variação e a sua magnitude.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

A taxa de variação máxima ocorre na direção do gradiente. Para encontrar essa taxa, calculamos a magnitude do gradiente:
Então, a taxa de variação máxima é 1 e ocorre na direção do vetor gradiente .

Passo 6

A taxa de variação mínima ocorre na direção oposta ao gradiente. A magnitude dessa taxa também é 1, mas a direção é .

Resposta

A taxa de variação máxima de no ponto é 1 na direção de e a taxa de variação mínima é -1 na direção de .

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Esboce a curva em coordenadas polares:
Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Determine e esboce o domínio das seguintes funções: