A segunda derivada direcional de é . Se e , calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada direcional de uma função na direção de um vetor . A função dada é e o vetor direção é . Vamos calcular essa derivada no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função na direção do vetor . Para encontrar a derivada direcional, usamos o gradiente da função e fazemos o produto escalar com o vetor direção :

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Primeiro, calculamos :
Depois, :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada direcional no ponto . Primeiro, substituímos e no gradiente:
Agora, fazemos o produto escalar com :

Passo 5

Agora, vamos para a segunda derivada direcional . Essa é basicamente a derivada da derivada direcional, ou seja:
Para calcular isso, vamos precisar das segundas derivadas parciais de . Vamos montar a matriz Hessiana , que é a matriz das segundas derivadas:
Vamos calcular cada termo:
Então, a matriz Hessiana é:

Passo 6

Vamos agora calcular usando a matriz Hessiana. A fórmula para a segunda derivada direcional é:
Primeiro, substituímos e na matriz Hessiana:
Agora, multiplicamos a matriz Hessiana pela direção :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo. Primeiro, multiplicamos a matriz Hessiana pelo vetor :
Agora, fazemos o produto escalar com :

Resposta

A segunda derivada direcional é igual a 30,56.

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Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .