A segunda derivada direcional de é . Se e , calcule .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a segunda derivada direcional de uma função na direção de um vetor . A função dada é e o vetor direção é . Vamos calcular essa derivada no ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função na direção do vetor . Para encontrar a derivada direcional, usamos o gradiente da função e fazemos o produto escalar com o vetor direção :
Passo 3
Vamos calcular o gradiente . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Primeiro, calculamos :
Depois, :
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada direcional no ponto . Primeiro, substituímos e no gradiente:
Agora, fazemos o produto escalar com :
Passo 5
Agora, vamos para a segunda derivada direcional. Essa é basicamente a derivada da derivada direcional, ou seja:
Para calcular isso, vamos precisar das segundas derivadas parciais de . Vamos montar a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas:
Vamos calcular cada termo:
Então, a matriz Hessiana é:
Passo 6
Vamos agora calcular usando a matriz Hessiana. A fórmula para a segunda derivada direcional é:
Primeiro, substituímos e na matriz Hessiana:
Agora, multiplicamos a matriz Hessiana pela direção :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo. Primeiro, multiplicamos a matriz Hessiana pelo vetor :