Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a taxa de variação máxima e mínima da função no ponto , além de identificar a direção em que essas variações ocorrem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente e a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e sua magnitude nos dá a taxa de variação máxima.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para :

Passo 4

Agora, substituímos o ponto nessas derivadas para encontrar os componentes do gradiente no ponto.
Aqui percebemos que há uma divisão por zero, o que indica que a derivada parcial em no ponto não está definida.

Passo 5

Na verdade, o ponto faz com que o denominador , o que significa que a função não está definida nesse ponto. Portanto, não podemos calcular a taxa de variação nesse ponto específico.

Resposta

A função não está definida no ponto , portanto não é possível determinar a taxa de variação máxima e mínima nesse ponto.

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Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.
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Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
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