Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Isso envolve trabalhar com funções de duas variáveis, ou seja, uma função que depende de
e
. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos 3D e como representar funções que têm duas entradas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que está dentro da raiz quadrada:
. Para que a função
seja real, o que está dentro da raiz precisa ser não negativo, ou seja:
Isso vai nos ajudar a determinar a região do plano
onde a função está definida.
Passo 3
Vamos reorganizar a expressão dentro da raiz para facilitar a análise. Primeiro, completamos o quadrado para as variáveis
e
:
Para
:
Para
:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, substituindo de volta na função
:
Para que o que está dentro da raiz seja não negativo:
Isso representa um círculo com centro em
e raio
no plano
.
Passo 5
Agora que sabemos que a função está definida dentro desse círculo, vamos entender como o gráfico se comporta. A função
nos dá a altura
em cada ponto
. A expressão dentro da raiz também nos mostra que o valor máximo de
ocorre no centro do círculo, onde
:
E o valor mínimo, que é 0, ocorre na borda do círculo.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, podemos pensar que ele será uma espécie de paraboloide invertido, cortada pelo círculo que encontramos. No centro, a altura é máxima (
) e diminui até chegar a zero na borda.
Resposta
O gráfico da função
é uma superfície paraboloide invertida com a altura máxima de
no ponto
e que se estende até a borda de um círculo de raio
centrado em
no plano
.
Exercícios relacionados
Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Determine a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.
A segunda derivada direcional de
é
. Se
e
, calcule
.
Esboce o gráfico das seguintes funções: