Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso envolve trabalhar com funções de duas variáveis, ou seja, uma função que depende de e . Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos 3D e como representar funções que têm duas entradas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que está dentro da raiz quadrada: . Para que a função seja real, o que está dentro da raiz precisa ser não negativo, ou seja:
Isso vai nos ajudar a determinar a região do plano onde a função está definida.

Passo 3

Vamos reorganizar a expressão dentro da raiz para facilitar a análise. Primeiro, completamos o quadrado para as variáveis e :
Para :
Para :
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, substituindo de volta na função :
Para que o que está dentro da raiz seja não negativo:
Isso representa um círculo com centro em e raio no plano .

Passo 5

Agora que sabemos que a função está definida dentro desse círculo, vamos entender como o gráfico se comporta. A função nos dá a altura em cada ponto . A expressão dentro da raiz também nos mostra que o valor máximo de ocorre no centro do círculo, onde :
E o valor mínimo, que é 0, ocorre na borda do círculo.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, podemos pensar que ele será uma espécie de paraboloide invertido, cortada pelo círculo que encontramos. No centro, a altura é máxima ( ) e diminui até chegar a zero na borda.

Resposta

O gráfico da função é uma superfície paraboloide invertida com a altura máxima de no ponto e que se estende até a borda de um círculo de raio centrado em no plano .

Exercícios relacionados

Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.
A segunda derivada direcional de é . Se e , calcule .
Esboce o gráfico das seguintes funções: