Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar e esboçar o domínio da função
. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de
e
a função está definida. Para isso, vamos trabalhar com a função arcsin e entender como a raiz quadrada e os valores absolutos influenciam essa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
está definida apenas quando o argumento
está no intervalo
. Ou seja, para
ser válida, precisamos que:
No entanto, como a raiz quadrada sempre resulta em um número não negativo, podemos simplificar essa condição para:
Passo 3
Agora, vamos eliminar a raiz quadrada para facilitar a resolução. Elevando todos os lados da desigualdade ao quadrado, temos:
Isso nos dá duas condições:
-
— que é sempre verdadeira, já que valores absolutos são positivos. -
— esta é a condição que realmente nos interessa para definir o domínio.
Passo 4
A expressão
representa um domínio geométrico específico no plano
. Essa inequação descreve um losango (ou diamante) com vértices nos pontos
,
,
e
. Isso significa que todos os pontos
dentro ou na fronteira desse losango fazem parte do domínio da função.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem
. Geometricamente, isso corresponde a um losango com vértices em
,
,
e
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de
indicados:
e
Esboce a curva em coordenadas polares:
Determine a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.