Determine e esboce o domínio das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar e esboçar o domínio da função . Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de e a função está definida. Para isso, vamos trabalhar com a função arcsin e entender como a raiz quadrada e os valores absolutos influenciam essa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função está definida apenas quando o argumento está no intervalo . Ou seja, para ser válida, precisamos que:
No entanto, como a raiz quadrada sempre resulta em um número não negativo, podemos simplificar essa condição para:

Passo 3

Agora, vamos eliminar a raiz quadrada para facilitar a resolução. Elevando todos os lados da desigualdade ao quadrado, temos:
Isso nos dá duas condições:
  1. — que é sempre verdadeira, já que valores absolutos são positivos.
  2. — esta é a condição que realmente nos interessa para definir o domínio.

Passo 4

A expressão representa um domínio geométrico específico no plano . Essa inequação descreve um losango (ou diamante) com vértices nos pontos , , e . Isso significa que todos os pontos dentro ou na fronteira desse losango fazem parte do domínio da função.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem . Geometricamente, isso corresponde a um losango com vértices em , , e .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de indicados:
e
Esboce a curva em coordenadas polares:
Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.