Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de z indicados:
f(x, y) = e^(-x^2 - y^2), z = 1, z = 1/2 e z = 1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de matemática sobre curvas de nível. A função que vamos analisar é e precisamos desenhar as curvas de nível para os valores de , e . Curvas de nível são linhas que conectam pontos onde a função assume o mesmo valor .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma curva de nível. Para encontrar uma curva de nível para um determinado valor de , igualamos a função a esse valor:
No nosso caso:

Passo 3

Para simplificar essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados. O logaritmo natural de é simplesmente , então:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Essa equação representa um círculo no plano com raio e centro na origem .

Passo 5

Vamos calcular o raio para cada valor de :
  1. Para :
    Isso significa que a curva de nível é apenas o ponto .
  2. Para :
    Então, o raio é .
  3. Para :
    O raio aqui é .

Resposta

As curvas de nível para a função são círculos centrados na origem com os seguintes raios:
  • Para : ponto
  • Para : círculo com raio aproximadamente
  • Para : círculo com raio aproximadamente

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