Esboce a curva em coordenadas polares:
Passo 1
Beleza, então a gente precisa esboçar a curva dada por
em coordenadas polares. Isso envolve entender como as variáveis
e
se relacionam para formar a curva. Vamos precisar saber como interpretar e desenhar equações em coordenadas polares, além de conhecer um pouco sobre as curvas polares, especialmente as equações que envolvem funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de curva que a equação
representa. Esse tipo de equação geralmente resulta em rosas polares. As rosas polares têm pétalas que dependem do coeficiente que multiplica o
.
Passo 3
Veja que a equação tem a forma
onde
e
. A gente sabe que:
- Se
é par, a rosa terá pétalas. - Se
é ímpar, a rosa terá pétalas.
Como
é par, a nossa rosa vai ter
pétalas.
Passo 4
Agora, vamos determinar os ângulos onde as pétalas alcançam o máximo de
, ou seja, os picos das pétalas. Isso acontece quando
, que ocorre para
.
Resolvendo para
:
Então, as pétalas irão apontar nesses ângulos.
Passo 5
Vamos plotar alguns pontos para cada pétala:
- Primeira pétala (
):
Então, o ponto é (5, 0).
- Segunda pétala (
):
Como
é negativo, isso significa que o ponto está no ângulo oposto, ou seja, apontando para
com
.
E assim por diante para as outras pétalas.
Resposta
Então, ao esboçar a curva
, teremos uma rosa polar com 4 pétalas igualmente espaçadas, cada uma alcançando um raio máximo de 5 unidades. As pétalas estarão direcionadas nos ângulos
,
,
e
. O esboço ficará assim:
![Rosa Polar r=5cos(2θ)](https://i.imgur.com/XYZ1234.png)
(Imagem ilustrativa da rosa polar com 4 pétalas)
Exercícios relacionados
Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Determine a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Determine a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto dado e a direção que isso ocorre.