Esboce a curva em coordenadas polares:

Passo 1

Beleza, então a gente precisa esboçar a curva dada por em coordenadas polares. Isso envolve entender como as variáveis e se relacionam para formar a curva. Vamos precisar saber como interpretar e desenhar equações em coordenadas polares, além de conhecer um pouco sobre as curvas polares, especialmente as equações que envolvem funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de curva que a equação representa. Esse tipo de equação geralmente resulta em rosas polares. As rosas polares têm pétalas que dependem do coeficiente que multiplica o .

Passo 3

Veja que a equação tem a forma onde e . A gente sabe que:
  • Se é par, a rosa terá pétalas.
  • Se é ímpar, a rosa terá pétalas.
Como é par, a nossa rosa vai ter pétalas.

Passo 4

Agora, vamos determinar os ângulos onde as pétalas alcançam o máximo de , ou seja, os picos das pétalas. Isso acontece quando , que ocorre para .
Resolvendo para :
Então, as pétalas irão apontar nesses ângulos.

Passo 5

Vamos plotar alguns pontos para cada pétala:
  1. Primeira pétala ( ):
Então, o ponto é (5, 0).
  1. Segunda pétala ( ):
Como é negativo, isso significa que o ponto está no ângulo oposto, ou seja, apontando para com .
E assim por diante para as outras pétalas.

Resposta

Então, ao esboçar a curva , teremos uma rosa polar com 4 pétalas igualmente espaçadas, cada uma alcançando um raio máximo de 5 unidades. As pétalas estarão direcionadas nos ângulos , , e . O esboço ficará assim:
Rosa Polar r=5cos(2θ)
(Imagem ilustrativa da rosa polar com 4 pétalas)

Exercícios relacionados

Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de ; (2) Calcule o gradiente no ponto ; (3) Determine a taxa de variação de em na direção do vetor .
Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.
Determine a taxa de variação máxima e mínima de no ponto dado e a direção que isso ocorre.