Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a função
, no ponto
e com o vetor
. Precisamos:
- Encontrar o gradiente de
. - Calcular esse gradiente no ponto
. - Determinar a taxa de variação de
em na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Então, o gradiente de
é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Basta substituir
,
e
na expressão do gradiente:
Primeiro, calculamos
.
Então:
Passo 8
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 9
Por último, vamos determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
. Para isso, usamos a fórmula da derivada direcional:
Onde
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 10
Primeiro, vamos normalizar o vetor
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 11
Agora, calculamos o produto escalar entre
e
:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.
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Trace curvas de nível das seguintes funções para os valores de
indicados:
e
Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de
; (2) Calcule o gradiente no ponto
; (3) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Esboce a curva em coordenadas polares: