Nos itens abaixo, faça o que se pede: (1) Determine o gradiente de f; (2) Calcule o gradiente no ponto P; (3) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
f(x, y, z) = raiz(x y z), P(3, 2, 6), u = <-1, -2, 2>

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a função , no ponto e com o vetor . Precisamos:
  1. Encontrar o gradiente de .
  2. Calcular esse gradiente no ponto .
  3. Determinar a taxa de variação de em na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

E a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Então, o gradiente de é:

Passo 7

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Basta substituir , e na expressão do gradiente:
Primeiro, calculamos .
Então:

Passo 8

Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 9

Por último, vamos determinar a taxa de variação de em na direção do vetor . Para isso, usamos a fórmula da derivada direcional:
Onde é o vetor unitário na direção de .

Passo 10

Primeiro, vamos normalizar o vetor :
Então, o vetor unitário é:

Passo 11

Agora, calculamos o produto escalar entre e :

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

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