( ) Toda função f(x, y) contínua num conjunto fechado e limitado admite um extremo absoluto

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que “toda função contínua em um conjunto fechado e limitado admite um extremo absoluto”. Isso tá ligado ao tópico de Análise Matemática, mais especificamente ao Teorema do Valor Extremo. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua, o que é um conjunto fechado e limitado, e o que são extremos absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre função contínua. Uma função é contínua num conjunto se, basicamente, não tem “quebras” ou “saltos” nas suas curvas dentro desse conjunto. Isso significa que, se a gente fizer pequenos movimentos nos valores de e , a saída também muda de forma suave.

Passo 3

Agora, sobre o conjunto fechado e limitado. Um conjunto é fechado se ele inclui todas as suas “fronteiras”. Por exemplo, imagine um círculo que inclui a borda. Já limitado significa que o conjunto não se estende para o infinito; ele tem um tamanho finito.

Passo 4

Os extremos absolutos são os pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos no conjunto considerado. Ou seja, o maior e o menor valor que pode tomar dentro desse conjunto.

Passo 5

O Teorema do Valor Extremo nos diz que se temos uma função contínua em um conjunto que é fechado e limitado (também chamado de conjunto compacto), então essa função necessariamente terá pelo menos um ponto onde ela alcança seu valor máximo e outro onde alcança seu valor mínimo dentro desse conjunto.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso enunciado: como a função é contínua e está sendo considerada em um conjunto fechado e limitado, o Teorema do Valor Extremo garante que ela vai ter esses extremos absolutos.

Resposta

Verdadeiro. Toda função contínua em um conjunto fechado e limitado admite um extremo absoluto.

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