Determine escalares alpha1, e alpha2 tais que alpha1lang<= 2,-1rang<=+alpha2lang<=-1,-1rang<==lang<= 5,-1rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos dois números, chamados de escalares alpha1 e alpha2, que multiplicados pelos vetores lang<= 2,-1rang<= e lang<=-1,-1rang<=, respectivamente, dão o vetor lang<= 5,-1rang<=. Isso envolve álgebra linear, especificamente a combinação linear de vetores. Vamos precisar montar um sistema de equações para encontrar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial:
alpha1lang<= 2,-1rang<= + alpha2lang<=-1,-1rang<= = lang<= 5,-1rang<=
Isso significa que:
lang<= 2alpha1 - alpha2, -alpha1 - alpha2rang<= = lang<= 5,-1rang<=
Aqui, igualamos cada componente dos vetores.

Passo 3

Agora, a gente tem duas equações:
  1. Para a primeira componente:
2alpha1 - alpha2 = 5
  1. Para a segunda componente:
-alpha1 - alpha2 = -1
Assim, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:
-alpha1 - alpha2 = -1
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
alpha1 + alpha2 = 1
Então, temos:
alpha1 + alpha2 = 1 (Equação 2) çã

Passo 5

Agora, temos:
  1. 2alpha1 - alpha2 = 5
  2. alpha1 + alpha2 = 1
Vamos somar as duas equações para eliminar alpha2:
(2alpha1 - alpha2) + (alpha1 + alpha2) = 5 + 1
Simplificando:
3alpha1 = 6

Passo 6

Resolvendo para alpha1:
alpha1 = 63 = 2

Passo 7

Agora que temos alpha1 = 2, vamos substituir esse valor na Equação 2 para encontrar alpha2:
2 + alpha2 = 1
Assim:
alpha2 = 1 - 2 = -1

Resposta

Os escalares que satisfazem a equação são alpha1 = 2 e alpha2 = -1.

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