e (.) operações em , definidas por
Mostre que é um anel comutativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto com as operações de adição e multiplicação definidas é um anel comutativo. Isso está dentro da matéria de álgebra abstrata, mais especificamente na parte que estuda estruturas algébricas como grupos e anéis. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz todas as propriedades que definem um anel comutativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel comutativo. Um anel comutativo é um conjunto equipado com duas operações, geralmente chamadas de adição e multiplicação, que satisfazem certas propriedades:
  1. Adicionar forma um grupo abeliano: ou seja, a adição é associativa, tem elemento neutro (zero), cada elemento tem um inverso (negativo) e a adição é comutativa.
  2. Multiplicação é associativa: a ordem na qual multiplicamos não altera o resultado.
  3. Distributividade: a multiplicação distribui sobre a adição, tanto à esquerda quanto à direita.
  4. Comutatividade da multiplicação: a ordem na multiplicação não altera o resultado.
Vamos verificar essas propriedades para .

Passo 3

1. Verificando que a adição forma um grupo abeliano:
  • Associatividade da adição:
    Para quaisquer ,
    Assim, .
  • Elemento neutro:
    O elemento age como neutro porque para qualquer ,
  • Inverso aditivo:
    Para cada , existe tal que
  • Comutatividade da adição:
    Para quaisquer ,
Portanto, a adição em forma um grupo abeliano.

Passo 4

2. Verificando a associatividade da multiplicação:
Para quaisquer ,
Como a multiplicação de inteiros é associativa, , logo

Passo 5

3. Verificando a distributividade da multiplicação sobre a adição:
Para quaisquer ,
E também,
Isso mostra que a multiplicação distribui sobre a adição tanto à esquerda quanto à direita.

Passo 6

4. Verificando a comutatividade da multiplicação:
Para quaisquer ,
Isso porque a multiplicação de inteiros é comutativa.

Passo 7

Conclusão:
Como verificamos que:
  1. A adição em forma um grupo abeliano,
  2. A multiplicação é associativa,
  3. A multiplicação distribui sobre a adição,
  4. A multiplicação é comutativa,
Podemos concluir que é, de fato, um anel comutativo.

Resposta

é um anel comutativo.

Exercícios relacionados

Encontre uma base para o subespaço de consistindo em todos os vetores da forma (a+b, , b, c) , nos quais a, b, c e d são número reais. Qual a dimensão de S?
Determine escalares tais que o operador linear , tenha como imagem o subespaço e como núcleo o subespaço . (1 ponto)
Sejam definidos, respectivamente, por e . Determine: a) , b) e . ponto
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
é um plano no que passa pela origem.