Sejam A=Zn=0, 1, 2, ldots, n-1, n >= 0,(+) e (.) operações em Zn, definidas por
c barx+bary=x+y, para todo barx, bary in Zn barx cdot bary=barx cdot bary, para todo barx, bary in Zn
Mostre que (Zn,+,) é um anel comutativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto Zn com as operações de adição e multiplicação definidas é um anel comutativo. Isso está dentro da matéria de álgebra abstrata, mais especificamente na parte que estuda estruturas algébricas como grupos e anéis. Para resolver isso, vamos precisar verificar se Zn satisfaz todas as propriedades que definem um anel comutativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel comutativo. Um anel comutativo é um conjunto equipado com duas operações, geralmente chamadas de adição e multiplicação, que satisfazem certas propriedades:
  1. Adicionar forma um grupo abeliano: ou seja, a adição é associativa, tem elemento neutro (zero), cada elemento tem um inverso (negativo) e a adição é comutativa.
  2. Multiplicação é associativa: a ordem na qual multiplicamos não altera o resultado.
  3. Distributividade: a multiplicação distribui sobre a adição, tanto à esquerda quanto à direita.
  4. Comutatividade da multiplicação: a ordem na multiplicação não altera o resultado.
Vamos verificar essas propriedades para Zn.

Passo 3

1. Verificando que a adição forma um grupo abeliano:
  • Associatividade da adição:
    Para quaisquer a, b, c in Zn,
    (a + b) + c = a + b + c = a + b + c
    a + (b + c) = a + b + c = a + b + c
    Assim, (a + b) + c = a + (b + c).
  • Elemento neutro:
    O elemento 0 age como neutro porque para qualquer a in Zn,
    a + 0 = a + 0 = a
  • Inverso aditivo:
    Para cada a in Zn, existe -a tal que
    a + -a = a - a = 0
  • Comutatividade da adição:
    Para quaisquer a, b in Zn,
    a + b = a + b = b + a = b + a
Portanto, a adição em Zn forma um grupo abeliano.

Passo 4

2. Verificando a associatividade da multiplicação:
Para quaisquer a, b, c in Zn,
(a cdot b) cdot c = a cdot b cdot c = (a cdot b) cdot c
a cdot (b cdot c) = a cdot b cdot c = a cdot (b cdot c)
Como a multiplicação de inteiros é associativa, (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c), logo
(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)

Passo 5

3. Verificando a distributividade da multiplicação sobre a adição:
Para quaisquer a, b, c in Zn,
a cdot (b + c) = a cdot b + c = a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c = a cdot b + a cdot c = a cdot b + a cdot c
E também,
(a + b) cdot c = a + b cdot c = (a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c = a cdot c + b cdot c = a cdot c + b cdot c
Isso mostra que a multiplicação distribui sobre a adição tanto à esquerda quanto à direita.

Passo 6

4. Verificando a comutatividade da multiplicação:
Para quaisquer a, b in Zn,
a cdot b = a cdot b = b cdot a = b cdot a
Isso porque a multiplicação de inteiros é comutativa.

Passo 7

Conclusão:
Como verificamos que:
  1. A adição em Zn forma um grupo abeliano,
  2. A multiplicação é associativa,
  3. A multiplicação distribui sobre a adição,
  4. A multiplicação é comutativa,
Podemos concluir que (Zn, +, cdot ) é, de fato, um anel comutativo.

Resposta

(Zn, +, cdot ) é um anel comutativo.

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