Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto com as operações de adição e multiplicação definidas é um anel comutativo. Isso está dentro da matéria de álgebra abstrata, mais especificamente na parte que estuda estruturas algébricas como grupos e anéis. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz todas as propriedades que definem um anel comutativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel comutativo. Um anel comutativo é um conjunto equipado com duas operações, geralmente chamadas de adição e multiplicação, que satisfazem certas propriedades:
Adicionar forma um grupo abeliano: ou seja, a adição é associativa, tem elemento neutro (zero), cada elemento tem um inverso (negativo) e a adição é comutativa.
Multiplicação é associativa: a ordem na qual multiplicamos não altera o resultado.
Distributividade: a multiplicação distribui sobre a adição, tanto à esquerda quanto à direita.
Comutatividade da multiplicação: a ordem na multiplicação não altera o resultado.
Vamos verificar essas propriedades para .
Passo 3
1. Verificando que a adição forma um grupo abeliano:
Associatividade da adição:
Para quaisquer ,
Assim, .
Elemento neutro:
O elemento age como neutro porque para qualquer ,
Inverso aditivo:
Para cada , existe tal que
Comutatividade da adição:
Para quaisquer ,
Portanto, a adição em forma um grupo abeliano.
Passo 4
2. Verificando a associatividade da multiplicação:
Para quaisquer ,
Como a multiplicação de inteiros é associativa, , logo
Passo 5
3. Verificando a distributividade da multiplicação sobre a adição:
Para quaisquer ,
E também,
Isso mostra que a multiplicação distribui sobre a adição tanto à esquerda quanto à direita.
Passo 6
4. Verificando a comutatividade da multiplicação:
Para quaisquer ,
Isso porque a multiplicação de inteiros é comutativa.
Passo 7
Conclusão:
Como verificamos que:
A adição em forma um grupo abeliano,
A multiplicação é associativa,
A multiplicação distribui sobre a adição,
A multiplicação é comutativa,
Podemos concluir que é, de fato, um anel comutativo.