Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido: (a) x''(t) = x^2 * 4

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a equação diferencial de segunda ordem . Nosso objetivo é determinar o espaço de fase dessa equação e identificar o maior subconjunto onde um retrato de fase faz sentido.
Conteúdo da matéria: Análise de espaço de fase para equações diferenciais, transformação de equações de segunda ordem em sistemas de primeira ordem.
O que vamos precisar: Transformar a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem e verificar onde esse sistema está bem definido para elaborar o retrato de fase.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Para isso, introduzimos uma nova variável que representa a derivada de em relação ao tempo:
Com isso, podemos reescrever a equação original como um sistema de duas equações de primeira ordem:

Passo 3

Agora, vamos analisar o espaço de fase desse sistema. O espaço de fase é o conjunto dos pares onde as equações do sistema estão definidas. Observando as equações:
Percebemos que ambas as equações são funções polinomiais em e , o que significa que estão definidas para todos os valores reais de e .

Passo 4

Como as equações são definidas para todo , o espaço de fase completo é todo o plano bidimensional:
ç

Passo 5

Para que um retrato de fase faça sentido, precisamos que o sistema seja bem definido e que as soluções sejam únicas nesse espaço. Como as funções no sistema são contínuas e diferenciáveis em todo , não há restrições que limitem a validade do retrato de fase.

Resposta

O espaço de fase é e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz sentido também é .

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