Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido: (a)
sentido: (a)
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a equação diferencial de segunda ordem
. Nosso objetivo é determinar o espaço de fase dessa equação e identificar o maior subconjunto onde um retrato de fase faz sentido.
Conteúdo da matéria: Análise de espaço de fase para equações diferenciais, transformação de equações de segunda ordem em sistemas de primeira ordem.
O que vamos precisar: Transformar a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem e verificar onde esse sistema está bem definido para elaborar o retrato de fase.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Para isso, introduzimos uma nova variável
que representa a derivada de
em relação ao tempo:
Com isso, podemos reescrever a equação original como um sistema de duas equações de primeira ordem:
Passo 3
Agora, vamos analisar o espaço de fase desse sistema. O espaço de fase é o conjunto dos pares
onde as equações do sistema estão definidas. Observando as equações:
Percebemos que ambas as equações são funções polinomiais em
e
, o que significa que estão definidas para todos os valores reais de
e
.
Passo 4
Como as equações são definidas para todo
, o espaço de fase completo é todo o plano bidimensional:
Passo 5
Para que um retrato de fase faça sentido, precisamos que o sistema seja bem definido e que as soluções sejam únicas nesse espaço. Como as funções no sistema são contínuas e diferenciáveis em todo
, não há restrições que limitem a validade do retrato de fase.
Resposta
O espaço de fase é
e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz sentido também é
.
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Use separa, c〜ao de varíaveis para encontrar uma solu, c〜ao para o PVI
. Encontre outra solu, caao (bem simples) para o mesmo PVI usando sua experīencia. Por que a exist^encia de (ao menos) duas solu,
oes ñao viola o teorema da exist^encia e unicidade?
Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
(d)
(d)
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
(b)
sentido:
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Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
©
sentido:
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