Use separa, c〜ao de varíaveis para encontrar uma solu, c〜ao para o PVI . Encontre outra solu, caao (bem simples) para o mesmo PVI usando sua experīencia. Por que a exist^encia de (ao menos) duas solu, oes ñao viola o teorema da exist^encia e unicidade?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta tá pedindo. A gente tem um problema de valor inicial (PVI) dado por com a condição inicial . A matéria aqui envolve equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, métodos de separação de variáveis para resolver PVI. Vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a resolução. Seja , então . Agora, temos:
Isso vem da regra da cadeia, onde .

Passo 3

Agora, separamos as variáveis e :
Assim, podemos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre e .

Passo 4

Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , temos:

Passo 6

Para simplificar, vamos considerar a condição inicial. Sabemos que . Se também assumirmos (pois só uma condição não é suficiente para uma EDO de segunda ordem), substituindo na equação:
Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, separamos novamente as variáveis para integrar:
Simplificando a expressão:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Isolando :
Elevando ambos os lados à potência :

Passo 10

Aplicando a condição inicial :
Então, a solução geral fica:

Passo 11

Simplificando:
Isso nos dá uma solução não trivial para o PVI.

Passo 12

Além disso, temos a solução trivial:
Essa também satisfaz a equação e a condição inicial .

Resposta

As duas soluções para o PVI são:
A existência de pelo menos duas soluções não viola o teorema da existência e unicidade porque a função não satisfaz a condição de Lipschitz contínua em . Isso permite que múltiplas soluções existam para o mesmo PVI sem infringir o teorema.

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Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
(d)
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(b)
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido: (a)
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