Use separa, c〜ao de varíaveis para encontrar uma solu, c〜ao para o PVI
. Encontre outra solu, caao (bem simples) para o mesmo PVI usando sua experīencia. Por que a exist^encia de (ao menos) duas solu,
oes ñao viola o teorema da exist^encia e unicidade?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta tá pedindo. A gente tem um problema de valor inicial (PVI) dado por
com a condição inicial
. A matéria aqui envolve equações diferenciais ordinárias e, mais especificamente, métodos de separação de variáveis para resolver PVI. Vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a resolução. Seja
, então
. Agora, temos:
Isso vem da regra da cadeia, onde
.
Passo 3
Agora, separamos as variáveis
e
:
Assim, podemos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 4
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 6
Para simplificar, vamos considerar a condição inicial. Sabemos que
. Se também assumirmos
(pois só uma condição não é suficiente para uma EDO de segunda ordem), substituindo na equação:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, separamos novamente as variáveis para integrar:
Simplificando a expressão:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Isolando
:
Elevando ambos os lados à potência
:
Passo 10
Aplicando a condição inicial
:
Então, a solução geral fica:
Passo 11
Simplificando:
Isso nos dá uma solução não trivial para o PVI.
Passo 12
Além disso, temos a solução trivial:
Essa também satisfaz a equação
e a condição inicial
.
Resposta
As duas soluções para o PVI são:
A existência de pelo menos duas soluções não viola o teorema da existência e unicidade porque a função
não satisfaz a condição de Lipschitz contínua em
. Isso permite que múltiplas soluções existam para o mesmo PVI sem infringir o teorema.
Exercícios relacionados
Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
(d)
(d)
Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
(b)
(b)
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido: (a)
sentido: (a)
Determine o espa, co de fase e o seu maior subconjunto onde um retrato de fase faz
sentido:
(b)
sentido:
(b)