Determine o espaço de soluções viáveis para cada uma das seguintes restrições independentes:
  • -3 x1 + x2 <= 6
  • x1 - 2 x2 ≥ 5
  • 2 x1 - 3 x2 ≥ 12
  • x1 - x2 ≥ 0
  • -x1 + x2 ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem cinco restrições (que são como regras) envolvendo duas variáveis, e . O objetivo é encontrar todas as combinações de e que satisfazem todas essas regras ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o que aprendemos sobre sistemas de desigualdades e regiões viáveis no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as cinco desigualdades que precisamos resolver:
Vamos resolver cada uma delas para entender melhor as restrições que elas impõem.

Passo 3

Vamos resolver a primeira desigualdade:
Podemos isolar :
Isso significa que para cada valor de , tem que ser menor ou igual a .

Passo 4

Agora, a segunda desigualdade:
Isolando :
Multiplicando por -1 (lembrando que o sinal da desigualdade inverte):
Então,

Passo 5

Terceira desigualdade:
Isolando :
Multiplicando por -1:
Então,

Passo 6

Quarta desigualdade:
Isso pode ser reescrito como:
Ou seja, tem que ser maior ou igual a .

Passo 7

Quinta desigualdade:
Rearranjando:
Então, tem que ser maior ou igual a .

Passo 8

Agora, vamos juntar todas as condições que encontramos:
Observando as últimas duas condições:
Isso só é possível se .

Passo 9

Como , vamos substituir por nas outras desigualdades:
  1. → Simplificando:
Vamos resolver a segunda:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 10

Agora, juntando as condições sobre :
A última condição já satisfaz e está contraposta, pois não pode ser verdadeiro simultaneamente.

Resposta

Não existe espaço de soluções viáveis que satisfaçam todas as restrições ao mesmo tempo.

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