Uma empresa que funciona dez horas por dia fabrica dois produtos em 3 processos sequenciais. A tabela abaixo resume os dados do problema.
Determine o mix ótimo dos dois produtos pelo método gráfico.
Minutos por unidade
Produto Processo 1 Processo 2 Processo 3 Lucro por unidade
1 10 6 8 2
2 5 20 10 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma empresa que trabalha 10 horas por dia e fabrica dois produtos usando 3 processos diferentes. Cada produto leva um certo tempo em cada processo e dá um lucro específico por unidade vendida. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas unidades de cada produto a empresa deve fabricar para maximizar o lucro, usando o método gráfico de programação linear. Para isso, vamos precisar montar as restrições baseadas nos tempos dos processos e depois encontrar a melhor combinação que dá o máximo lucro possível.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as 10 horas de trabalho diário em minutos, já que os tempos dos processos estão em minutos.
Então, para cada processo, a empresa tem 600 minutos disponíveis por dia.

Passo 3

Agora, vamos definir as variáveis:
  • : número de unidades do Produto 1 a serem produzidas.
  • : número de unidades do Produto 2 a serem produzidas.

Passo 4

Vamos montar as restrições baseadas nos tempos de cada processo:
Processo 1:
Cada unidade do Produto 1 leva 10 minutos e do Produto 2 leva 5 minutos.
Processo 2:
Produto 1 leva 6 minutos e Produto 2 leva 20 minutos.
Processo 3:
Produto 1 leva 8 minutos e Produto 2 leva 10 minutos.
Além disso, não podemos produzir uma quantidade negativa de produtos:

Passo 5

Nosso objetivo é maximizar o lucro. A função lucro ( ) é dada por:
Queremos encontrar os valores de e que maximizam dentro das restrições que montamos.

Passo 6

Vamos desenhar cada restrição no plano cartesiano para visualizar a região viável:
  1. Processo 1:
Simplificando:
Interceptos:
  • :
  • :
  1. Processo 2:
Simplificando:
Interceptos:
  • :
  • :
  1. Processo 3:
Simplificando:
Interceptos:
  • :
  • :

Passo 7

A região viável é a área onde todas as restrições se sobrepõem. Vamos identificar os pontos de interseção dessas linhas, pois esses serão os candidatos para a solução ótima.

Passo 8

Vamos encontrar os pontos de interseção:
  1. Interseção entre Processo 1 e Processo 2:
    Resolvendo:
Multiplicando a primeira equação por 10:
Subtraindo:
Substituindo em :
Então, o ponto é aproximadamente (52.94, 14.12).
  1. Interseção entre Processo 1 e Processo 3:
    Resolvendo:
Multiplicando a primeira equação por 5:
Subtraindo:
Substituindo em :
Então, o ponto é (50, 20).
  1. Interseção entre Processo 2 e Processo 3:
    Resolvendo:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Subtraindo:
Substituindo em :
Então, o ponto é (60, 12).

Passo 9

Agora, vamos avaliar a função lucro em cada um dos pontos:
  1. Ponto (0,0):
  1. Ponto (0,30):
  1. Ponto (52.94,14.12):
  1. Ponto (50,20):
  1. Ponto (60,12):
  1. Ponto (75,0):

Passo 10

Comparando todos os valores de , vemos que o maior lucro ocorre no ponto (50,20), onde:

Resposta

O mix ótimo é produzir 50 unidades do Produto 1 e 20 unidades do Produto 2, resultando em um lucro máximo de R$160 por dia.

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