Uma empresa que funciona dez horas por dia fabrica dois produtos em 3 processos sequenciais. A tabela abaixo resume os dados do problema.
Determine o mix ótimo dos dois produtos pelo método gráfico.
Determine o mix ótimo dos dois produtos pelo método gráfico.
Minutos por unidade | ||||
---|---|---|---|---|
Produto | Processo 1 | Processo 2 | Processo 3 | Lucro por unidade |
1 | 10 | 6 | 8 | 2 |
2 | 5 | 20 | 10 | 3 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma empresa que trabalha 10 horas por dia e fabrica dois produtos usando 3 processos diferentes. Cada produto leva um certo tempo em cada processo e dá um lucro específico por unidade vendida. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas unidades de cada produto a empresa deve fabricar para maximizar o lucro, usando o método gráfico de programação linear. Para isso, vamos precisar montar as restrições baseadas nos tempos dos processos e depois encontrar a melhor combinação que dá o máximo lucro possível.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as 10 horas de trabalho diário em minutos, já que os tempos dos processos estão em minutos.
Então, para cada processo, a empresa tem 600 minutos disponíveis por dia.
Passo 3
Agora, vamos definir as variáveis:
-
: número de unidades do Produto 1 a serem produzidas. -
: número de unidades do Produto 2 a serem produzidas.
Passo 4
Vamos montar as restrições baseadas nos tempos de cada processo:
Processo 1:
Cada unidade do Produto 1 leva 10 minutos e do Produto 2 leva 5 minutos.
Cada unidade do Produto 1 leva 10 minutos e do Produto 2 leva 5 minutos.
Processo 2:
Produto 1 leva 6 minutos e Produto 2 leva 20 minutos.
Produto 1 leva 6 minutos e Produto 2 leva 20 minutos.
Processo 3:
Produto 1 leva 8 minutos e Produto 2 leva 10 minutos.
Produto 1 leva 8 minutos e Produto 2 leva 10 minutos.
Além disso, não podemos produzir uma quantidade negativa de produtos:
Passo 5
Nosso objetivo é maximizar o lucro. A função lucro (
) é dada por:
Queremos encontrar os valores de
e
que maximizam
dentro das restrições que montamos.
Passo 6
Vamos desenhar cada restrição no plano cartesiano para visualizar a região viável:
- Processo 1:
Simplificando:
Interceptos:
-
: -
:
- Processo 2:
Simplificando:
Interceptos:
-
: -
:
- Processo 3:
Simplificando:
Interceptos:
-
: -
:
Passo 7
A região viável é a área onde todas as restrições se sobrepõem. Vamos identificar os pontos de interseção dessas linhas, pois esses serão os candidatos para a solução ótima.
Passo 8
Vamos encontrar os pontos de interseção:
- Interseção entre Processo 1 e Processo 2:
Resolvendo:
Multiplicando a primeira equação por 10:
Subtraindo:
Substituindo em
:
Então, o ponto é aproximadamente (52.94, 14.12).
- Interseção entre Processo 1 e Processo 3:
Resolvendo:
Multiplicando a primeira equação por 5:
Subtraindo:
Substituindo em
:
Então, o ponto é (50, 20).
- Interseção entre Processo 2 e Processo 3:
Resolvendo:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Subtraindo:
Substituindo em
:
Então, o ponto é (60, 12).
Passo 9
Agora, vamos avaliar a função lucro
em cada um dos pontos:
- Ponto (0,0):
- Ponto (0,30):
- Ponto (52.94,14.12):
- Ponto (50,20):
- Ponto (60,12):
- Ponto (75,0):
Passo 10
Comparando todos os valores de
, vemos que o maior lucro ocorre no ponto (50,20), onde:
Resposta
O mix ótimo é produzir 50 unidades do Produto 1 e 20 unidades do Produto 2, resultando em um lucro máximo de R$160 por dia.