Resolver pelo método gráfico o seguinte problema:
Sujeito a:
Sujeito a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de programação linear onde queremos maximizar a função
. As restrições que definem nosso espaço de solução são:
Para resolver isso pelo método gráfico, vamos precisar desenhar essas restrições em um gráfico, identificar a região viável e achar os pontos que maximizam
.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as inequações em equações para facilitar o desenho das retas no gráfico.
- Primeira restrição:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Agora, vamos encontrar os interceptos:
- Quando
: - Quando
:
Então, os pontos são (0,8) e (4,0).
- Segunda restrição:
Interceptos:
- Quando
: - Quando
:
Pontos: (0,6) e (6,0).
- Terceira restrição:
Interceptos:
- Quando
: - Quando
:
Pontos: (0,1) e (1,0).
- Restrições de não negatividade:
Isso significa que estamos trabalhando apenas no primeiro quadrante do gráfico.
Passo 3
Agora, vamos desenhar todas essas retas no gráfico:
- Reta 1: Passa por (0,8) e (4,0)
- Reta 2: Passa por (0,6) e (6,0)
- Reta 3: Passa por (0,1) e (1,0)
A região viável é onde todas as restrições se sobrepõem. Vamos analisar cada região delimitada por essas retas.
Passo 4
Identificamos os pontos de interseção das retas que delimitam a região viável:
- Interseção da Reta 1 e Reta 2:
Subtraindo as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto, o ponto de interseção é (2,4).
- Interseção da Reta 2 e Reta 3:
Essas duas equações são paralelas e não se intersectam, então não há ponto de interseção aqui.
- Interseção da Reta 1 e Reta 3:
Subtraindo as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Como
não pode ser negativo, essa interseção não está na região viável.
Passo 5
Além dos pontos de interseção, os interceptos das retas com os eixos também são candidatos. Então, os pontos a considerar são:
- (0,1)
- (1,0)
- (2,4)
- (4,0)
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor de
em cada um desses pontos para encontrar qual deles maximiza
:
- Ponto (0,1):
- Ponto (1,0):
- Ponto (2,4):
- Ponto (4,0):
Resposta
A solução ótima ocorre nos pontos
e
, ambos com
.