Resolver pelo método gráfico o seguinte problema:
Max(Z) = 8 x1 + 4 x2
Sujeito a:
4 x1 + 2 x2 <= 16, x1 + x2 <= 6, x1 + x2 >= 1, x1, x2 >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de programação linear onde queremos maximizar a função . As restrições que definem nosso espaço de solução são:
Para resolver isso pelo método gráfico, vamos precisar desenhar essas restrições em um gráfico, identificar a região viável e achar os pontos que maximizam .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as inequações em equações para facilitar o desenho das retas no gráfico.
  1. Primeira restrição:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Agora, vamos encontrar os interceptos:
  • Quando :
  • Quando :
Então, os pontos são (0,8) e (4,0).
  1. Segunda restrição:
Interceptos:
  • Quando :
  • Quando :
Pontos: (0,6) e (6,0).
  1. Terceira restrição:
Interceptos:
  • Quando :
  • Quando :
Pontos: (0,1) e (1,0).
  1. Restrições de não negatividade:
Isso significa que estamos trabalhando apenas no primeiro quadrante do gráfico.

Passo 3

Agora, vamos desenhar todas essas retas no gráfico:
  • Reta 1: Passa por (0,8) e (4,0)
  • Reta 2: Passa por (0,6) e (6,0)
  • Reta 3: Passa por (0,1) e (1,0)
A região viável é onde todas as restrições se sobrepõem. Vamos analisar cada região delimitada por essas retas.

Passo 4

Identificamos os pontos de interseção das retas que delimitam a região viável:
  1. Interseção da Reta 1 e Reta 2:
Subtraindo as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, o ponto de interseção é (2,4).
  1. Interseção da Reta 2 e Reta 3:
Essas duas equações são paralelas e não se intersectam, então não há ponto de interseção aqui.
  1. Interseção da Reta 1 e Reta 3:
Subtraindo as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Como não pode ser negativo, essa interseção não está na região viável.

Passo 5

Além dos pontos de interseção, os interceptos das retas com os eixos também são candidatos. Então, os pontos a considerar são:
  • (0,1)
  • (1,0)
  • (2,4)
  • (4,0)

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor de em cada um desses pontos para encontrar qual deles maximiza :
  1. Ponto (0,1):
  1. Ponto (1,0):
  1. Ponto (2,4):
  1. Ponto (4,0):

Resposta

A solução ótima ocorre nos pontos e , ambos com .

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