Resolver pelo método gráfico o seguinte problema:

Sujeito a:

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede. A gente precisa maximizar a função . Isso faz parte da matéria de Programação Linear, usando o método gráfico. Para resolver, vamos precisar desenhar as restrições no gráfico, encontrar a região que satisfaz todas elas (chamada de região viável) e depois calcular o valor de nos pontos extremos dessa região para achar o valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as restrições que temos:
  1. que simplifica para
  2. (isso significa que as variáveis não podem ser negativas)
Essas restrições vão nos ajudar a desenhar a área onde a solução pode estar.

Passo 3

Vamos desenhar cada uma dessas restrições no gráfico:
  1. : Isso é uma linha vertical no ponto . Tudo à esquerda dessa linha é válido.
  2. : É uma linha horizontal no ponto . Tudo abaixo dessa linha é válido.
  3. : Podemos reescrever essa equação para facilitar o desenho. Se isolarmos , fica . Essa é uma linha inclinada onde a área válida está abaixo dela.
  4. : Isso significa que estamos trabalhando apenas no primeiro quadrante do gráfico (onde ambos são positivos).

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas linhas se cruzam. Esses pontos são chamados de vértices da região viável. Vamos resolver as equações para encontrar esses pontos:
  • Interseção entre e : O ponto é .
  • Interseção entre e : Então, o ponto é .
  • Interseção entre e : O ponto é .
Também temos os pontos onde as restrições cortam os eixos:
  • (já encontrado)

Passo 5

Vamos listar todos os vértices da região viável que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor de em cada um desses pontos para ver onde ele é maior:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Passo 7

Dando uma olhada nos valores de que calculamos:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
O maior valor de é 36, que ocorre no ponto .

Resposta

O valor máximo de é 36, alcançado quando e .

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Determine todos os pontos extremos do conjunto poliédrico.
Identifique a função de crescimento de em cada um dos seguintes casos:
  • Max
  • Max
  • Min