Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) lim x -2^+ x-1x^2(x+2)=+infty, neste caso, dizemos que a reta x=-2 é uma assíntota vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação diz que o limite de x-1x^2(x+2) quando x se aproxima de -2 pela direita é +infty, e que, nesse caso, a reta x=-2 é uma assíntota vertical. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um limite, especialmente envolvendo assíntotas verticais, e calcular esse limite específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite lim x -2^+ x-1x^2(x+2). O símbolo -2^+ significa que estamos nos aproximando de -2 pela direita, ou seja, com valores de x um pouquinho maiores que -2.
Vamos analisar o comportamento de cada parte da função quando x se aproxima de -2 pela direita:
  • O numerador x - 1 quando x está perto de -2:
    x - 1 = (-2) - 1 = -3
    Então, o numerador está próximo de -3.
  • O denominador x^2(x+2) quando x está perto de -2:
    x^2 = (-2)^2 = 4
    x + 2 = -2 + 2 = 0
    Portanto, o denominador está se aproximando de 0. Mas precisamos ver se está se aproximando de zero positivo ou negativo.
Como estamos vindo da direita de -2, x é um pouco maior que -2, por exemplo, -1.9. Então:
x + 2 = -1.9 + 2 = 0.1
Isso é positivo. Assim, o denominador está se aproximando de 0 por valores positivos, e x^2 é sempre positivo.
Então, a função está se aproximando de:
-3positivo times positivo = -3positivo = negativo
E como o denominador está se aproximando de zero, o valor total da função está indo para -infty.

Passo 3

Agora, sobre a assíntota vertical. Uma assíntota vertical ocorre em valores de x que fazem o denominador da função igual a zero e o limite tende ao infinito (positivo ou negativo). No nosso caso, x = -2 faz o denominador zero, então existe uma possibilidade de assíntota vertical. Porém, o limite está tendendo para -infty, não para +infty.

Resposta

Falso (F). O limite lim x -2^+ x-1x^2(x+2) é -infty, não +infty. Portanto, embora x=-2 seja uma assíntota vertical, o limite declarado na afirmação está incorreto.

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