Faça o esboço do gráfico de
e observe no gráfico o valor de . Há diferença entre e ? A função é contínua em $x=4 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o esboço do gráfico da função definida por partes, encontrar o limite de quando se aproxima de 4, verificar se esse limite é igual ao valor de , e finalmente, determinar se a função é contínua em . Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e aplicar conceitos de limites e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função :
Temos três partes:
  1. Para : , que é o valor absoluto de .
  2. Para : , um ponto específico no gráfico.
  3. Para : , uma função linear.
Vamos esboçar cada uma dessas partes no gráfico.

Passo 3

Primeira parte ( ):
A função é o valor absoluto de . Para , isso significa que:
  • Se é positivo, .
  • Se é negativo, .
No gráfico, isso forma um “V” com o vértice na origem (0,0). Mas como estamos considerando apenas , vamos desenhar essa parte até se aproximar de 4.
Segunda parte ( ):
Aqui, . Isso representa um ponto específico no gráfico: o ponto (4,6).
Terceira parte ( ):
A função é uma reta com inclinação -4 e interceptação em 20. Vamos calcular o valor de para :
Por exemplo, para :
Então, a reta passa pelo ponto (5,0) e desce com inclinação negativa.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite de quando se aproxima de 4:
Como os limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a 4.

Passo 5

Agora, vamos comparar o limite com o valor da função em 4:
Como , há uma diferença entre o limite de quando se aproxima de 4 e o valor da função em 4.
Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 4 deve ser igual ao valor da função em 4. Aqui, isso não acontece.

Resposta

A função apresenta um salto no ponto , já que é diferente de . Portanto, a função não é contínua em .

Exercícios relacionados

Verifique se a função é contínua em todos os pontos. Esboce o gráfico de .
Usando o valor de a indicado para cada item, determine e caso exista, . Esboce o gráfico de .
(a)
Determine se o que está estabelecido é Falso ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota vertical.
Se , então é contínua em ? Explique sua resposta.