e observe no gráfico o valor de lim x 4 f(x). Há diferença entre lim x 4 f(x) e f(4) ? A função f é contínua em $x=4 ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o esboço do gráfico da função definida por partes, encontrar o limite de quando se aproxima de 4, verificar se esse limite é igual ao valor de , e finalmente, determinar se a função é contínua em . Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e aplicar conceitos de limites e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função f(x) = |x|, & se x < 4 6, & se x = 4 -4x + 20, & se x > 4 :
Temos três partes:
Para : , que é o valor absoluto de .
Para : , um ponto específico no gráfico.
Para : , uma função linear.
Vamos esboçar cada uma dessas partes no gráfico.
Passo 3
Primeira parte ( f(5) = -4(5) + 20 = -20 + 20 = 0 ):
A função é o valor absoluto de . Para , isso significa que:
Se é positivo, .
Se é negativo, .
No gráfico, isso forma um “V” com o vértice na origem (0,0). Mas como estamos considerando apenas , vamos desenhar essa parte até se aproximar de 4.
Segunda parte ():
Aqui, . Isso representa um ponto específico no gráfico: o ponto (4,6).
Terceira parte ():
A função é uma reta com inclinação -4 e interceptação em 20. Vamos calcular o valor de para :
Por exemplo, para :
Então, a reta passa pelo ponto (5,0) e desce com inclinação negativa.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite de limx to 4^- f(x) = limx to 4^- |x| = |4| = 4 quando limx to 4^+ f(x) = limx to 4^+ (-4x + 20) = -4(4) + 20 = -16 + 20 = 4 se aproxima de 4:
Como os limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a 4.
Passo 5
Agora, vamos comparar o limite com o valor da função em 4:
limx to 4 f(x) = 4 e f(4) = 6
Como , há uma diferença entre o limite de quando se aproxima de 4 e o valor da função em 4.
Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 4 deve ser igual ao valor da função em 4. Aqui, isso não acontece.
Resposta
A função apresenta um salto no ponto , já que é diferente de . Portanto, a função não é contínua em .