Usando a definição de limite, demonstre que
(a) lim x 2 3+2 x=7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente demonstrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 7. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de limites, especificamente usando a definição formal de limite (a famosa definição epsilon-delta). Para resolver isso, precisamos entender como provar que, para qualquer margem de erro que a gente escolha (ε), existe uma proximidade (δ) em torno de 2 que faz com que fique dentro dessa margem quando está perto de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Ou seja, conseguimos manter tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que . Então, , e . Precisamos mostrar que, para qualquer , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão |(3 + 2x) - 7| = |2x - 4| = 2|x - 2| :
2|x - 2| < epsilon
Queremos que isso seja menor que |x - 2| < epsilon2 :
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Agora, para garantir que 2|x - 2| < 2 cdot epsilon2 = epsilon , basta escolher . Assim, sempre que , teremos:
Isso satisfaz a condição da definição de limite.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, demonstramos que .

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