Usando a definição de limite, demonstre que
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente demonstrar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é igual a 7. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de limites, especificamente usando a definição formal de limite (a famosa definição epsilon-delta). Para resolver isso, precisamos entender como provar que, para qualquer margem de erro que a gente escolha (ε), existe uma proximidade (δ) em torno de 2 que faz com que
fique dentro dessa margem quando
está perto de 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
. Ou seja, conseguimos manter
tão perto de
quanto quisermos, escolhendo
suficientemente próximo de
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que
. Então,
,
e
. Precisamos mostrar que, para qualquer
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
:
Queremos que isso seja menor que
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora, para garantir que
, basta escolher
. Assim, sempre que
, teremos:
Isso satisfaz a condição da definição de limite.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, demonstramos que
.