Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente demonstrar que o limite de quando se aproxima de 2 é igual a 7. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de limites, especificamente usando a definição formal de limite (a famosa definição epsilon-delta). Para resolver isso, precisamos entender como provar que, para qualquer margem de erro que a gente escolha (ε), existe uma proximidade (δ) em torno de 2 que faz com que fique dentro dessa margem quando está perto de 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Ou seja, conseguimos manter tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que . Então, , e . Precisamos mostrar que, para qualquer , existe um tal que se , então .
Passo 4
Vamos simplificar a expressão :
Queremos que isso seja menor que :
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora, para garantir que , basta escolher . Assim, sempre que , teremos:
Isso satisfaz a condição da definição de limite.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, demonstramos que .