f(x)=clarccos (4 x^2-16x^4-16), & se 0 <= x<2 pi3, & se x >= 2
é contínua em todos os pontos.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente tem uma função definida de duas formas diferentes dependendo do valor de f(x) = arccos (4x^2 - 16x^4 - 16), & se 0 <= x < 2 pi3, & se x >= 2 :
O desafio é descobrir se essa função é contínua em todos os pontos. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Como nossa função é definida de duas formas diferentes para e , o ponto que pode causar problema é . Em outros valores de , a função é dada por expressões contínuas (desde que definidas corretamente).

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em f(2) = pi3 . Primeiro, precisamos encontrar . Olhando a definição da função:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limx to 2^- f(x) = limx to 2^- arccos (4x^2 - 16x^4 - 16) quando 4x^2 - 16x^4 - 16 = 4(x^2 - 4)(x^2)^2 - (4)^2 = 4(x - 2)(x + 2)(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, = 4x^2 + 4 :
limx to 2^- f(x) = arccos (42^2 + 4) = arccos (48) = arccos (12) = pi3
Vamos simplificar a expressão dentro do :
Podemos cancelar (desde que ):
Então:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite de limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ pi3 = pi3 quando se aproxima de 2 pela direita, ou seja, :

Passo 6

Agora que temos:
limx to 2^- f(x) = pi3
limx to 2^+ f(x) = pi3
E sabemos que:
f(2) = pi3
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em , todas as três condições para continuidade são satisfeitas.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos.

Exercícios relacionados